( 95^ ) 

 el; garde seulement les termes infiniment petits du troisième ordre, ou par 

 l'équation 



(5) ~ b^iC'l -+- b\ b\c\ — ib^ b'lc\ +■ b'^Ct = o. 



» Il y aura donc sept sommets simples, et la courbe singulière appar- 

 tient à celles dont j'ai désigné le nombre par X (dans ma précédente Com- 

 munication). 



» L'équation (5) devient identique dans le cas où 



c, = sdob,, c\=^dgb'.2-i-(l\b,, c"^=: 2d\b'^-ï- 2d"„b,, c"[ = 2d\h^. 



M En introduisant ces valeurs dans les formules (4), en remplaçant le terme 

 id\b,j- en A'^ par un terme d'^b, en A'3 et en substituant b\ à b'.j -t- d".j, on 

 verra que ce cas ne diffère pas essentiellement de celui où d\ = o. Nous 

 aurons donc à soumettre à une discussion particulière le cas où 



/ Aj = ^^ + 2f/oè,r+ ^oj-, 



(6) A; = b,b',-^{d,b',-^d\b,)f + E\y-, 



{ a; = b':: + 2d\ b\r -+■ Kl' + '''Il + e';. 



Alors la courbe limite est composée de deux droites simples ^2= oet 

 d'une droite double passant par leur point d'intersection. Les sommets se 

 déterminent par l'équation 



(7) -bté;+blb',el + b^,b'!_{d:-e,)-2b,b'^{d,,d\-e\)+b:^{dl-eo)=o. 



» Il y a donc huit sommets simples, et la courbe appartient à celles dont 

 nous avons désigné le nombre par S. L'équation montre que, dans le voi- 

 sinage du sommet quadruple, la courbe pénultième ressemble à une courbe 

 composée de deux hyperboles qui ont le même centre et une asymptote 

 commune {j' = o), et qui ont la même position par rapport à l'asymptote 

 commune. 



» Ayant épuisé ainsi toutes les différentes espèces de quartiques dont 

 inie partie se réduit à une droite double qu'on trouve dans les systèmes 

 élémentaires de quartiques générales (*), on ne trouvera, par des recherches 

 ultérieures, que 1° des formes plus particulières, et a° de nouvelles repré- 

 sentations des mêmes courbes limites, ou plutôt des représentations de 

 séries de courbes qui tendent de nouvelles manières aux mêmes limites. 

 Nous en donnerons ici un exemple. 



(*) Foirma. précédente Communication. 



