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 » L'équation (5) devient aussi identique si b\ = o, c" = o. On sera ainsi 

 invité à discuter la courbe représentée par l'équation 



{b\ + c.j) j^-h 2C',rj + c; j + d'i = o, 



ou 



(8) {/>; + C, jr + aCV) j= + C; j + d': - o, 

 dont les sommets se déterminent par 



(9) Cs-/4b",d'l^o. 



On n'en trouve que six, et un système de quartiques ne contient en général 

 iiucune de ces courbes. Seulement si h^^ -+- C, j' est un carré complet, ou, 

 pour plus de simplicité, si C, = o, et si C'2= h, D',, la courbe, dont l'équa- 

 tion devient alors 



(10) (z.? + 2b,B\)j- + c; j+ d'i^o, 



sera, à la limite, composée de deux droites doubles : j- = o, qui est douée 

 de six soumiets déterminés par l'équation (9) et A^ == o, qui est douée de 

 trois sommets déterminés par l'équation 



(ri) d;>-c"3=.-o. 



» On aura donc ainsi une nouvelle représentation de la courbe de 

 M. Cayley, dont on peut faire usage si la courbe doit passer par un point 

 donné de la droite à trois sommets. 



» Il n'est pas difficile d'expliquer le paradoxe apparent que l'équation (10), 

 qui est un cas particulier de (8), représente une courbe limite plus générale 

 que celle que représente (8). 



)) En ayant égard 1° à l'ordre de la distance infiniment petite des deux 

 branches qui coïncident dans la droite double, et 2° au nombre de ma- 

 nières différentes dont une courbe limite peut faire partie d'un même 

 svstème, on peut démontrer à priori que, dans la formule (|^'= 6|:ji — . . .) 

 qui sert à exprimer l'une des caractéristiques d'un système par l'autre, 

 tous les nombres des différentes courbes, dont une partie se réduit à une 

 droite double, ont les coefficients que nous leur avons attribués dans la 

 formule (i) de notre précédente Communication. 



» Nous ferons encore remarquer que, dans les cas où la distance des 

 deux branches qui tendent à coïncider dans la droite double est infiniment 

 petite d'ordre \ ou f , les parties de cette droite, le long desquelles ces bran- 

 ches ont été réelles ou imaginaires avant la transition, se remplaceront 



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