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 rapport, bien qu'assez com|)liquée, peut être néanmoins réduite presque 



toujours, avec une approximation suffisante, à ;j^ ou à — ^tt» 



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expression où /,„ désigne la pente moyenne du fond, et où o,oo'36 est mis 

 pour ia |)ente qui sépare les rivières des torrents et qui varie, en réalité, 

 avec le degré de rugosité des parois et avec la profondeur. Enfin une des 

 deux valeurs qui rendent ce rapport égal à i se confond avec celle pour 

 laquelle les ondulations de la surface ne sont ni en avance ni en retard sur 

 les ondulations du fond, de manière que celles-ci n'exercent aucune in- 

 fluence sur les variations de la profondeur d'une section à l'autre quand 

 la pente a précisément cette valeur particulière. 



» La dernière partie du Mémoire est consacrée à l'étude du mouvement 

 non permanent dans les canaux de grande largeur. Quand ce mouvement 

 est graduellement variée son équation ne diffère que par de petits fermes de 

 celle que M. de Saint-Venant a donnée en supposant l'égalité de vitesse des 

 filets fluides [Comptes rendus, 17 et 2/4 juillet 1871, t.LXXIlI, p. 1^7); niais, 

 quand il faut tenir compte de la courbure des filets, et qu'on étudie la propa- 

 gation, le long d'un canal où se trouve sensiblement établi un régime uni- 

 forme, d'ondes ou de remous d'une médiocre hauteur, qui a ses dérivées 

 successives de plus en i)lus petites, les termes qui représentent l'influence de 

 cette courbure sont tout autres, suivant que l'on suppose aux filets fluides 

 de très-petites différences de vitesse ou qu'on leur suppose les inégali- 

 tés de vitesse qu'ils ont dans les canaux ordinaires. Dans le premier cas, le 

 mouvement se fait à fort peu près, par rapport à un système d'axes animé de 

 la vitesse moyenne U„ relative au régime uniforme, comme dans un canal 

 horizontal de même profondeur H contenant une eau en repos, et l'on re- 

 trouve par une tout autre méthode les différentes équations du Mémoire Sut 

 les ondes et les remous, etc. [Journal de M. Liouville, t. XVII, 1872). Mais les 

 différences effectives de vitesse des divers filets introduisent, à côté des 

 termes affectés de dérivées du troisième ordre, qui ne dépendent pas de ces 

 différences, d'autres termes contenant des dérivées du second ordre, et qui 

 deviennent par suite plus influents que les précédents dans le problème des 

 ondes propagées le long d'un canal en pente. 



» Toutefois, la vitesse de propagation du centre de gravité d'une intu- 

 mescence positive ou négative, de hauteur li\, ne dépend, ni dans l'un ni 

 dans l'autre cas, des termes dus à la courbe des filets : celte vitesse a est à 

 fort peu près donnée respectivement, pour une intumescence indéfinie et 



