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 Pour que l'intégrale InYdxdy dz... soit définie, il faudra introduire entre 



«, |3, a,, |3,,..., «„_,, jS„_| n relations, qui, jointes aux deux dans lesquelles 

 se décompose 



/(a+/3v/— I, a, + jS, v/— '>•••■> «„ + ^„v/— ^ = o, 



réduiront le nombre des variables indépendantes à «, et feront de F une 

 fonction déterminée de a, «,,••> <Z;(-ij par exemple. 



» On pourrait, pour donner une forme analytique à l'intégrale, recourir 

 à la formule qu'a donnée Jacobi, pour effectuer la transformation des va- 

 riables indépendantes. Mais l'intégrale transformée n'aurait plus avec l'an- 

 cienne, au point de vue de la forme, que des rapports à peu près insaisis- 

 sables. On évitera ces difficultés et l'on parviendra en même temps à une 

 méthode pratique d'évaluation de l'intégrale par les considérations sui- 

 vantes : 



» I/intégrale a pour expression 



I = 1 {v.„ -h /3„ V^) {da -f- d^j sl^){d(x, + df-i , v' -T) . • • {dx,,^. , + r//3„_ , V^) ; 



si l'on conçoit que le produit 



{dv. -h d^ V"^) {doc, + dfi, v/~) . . . (rfa„_, + f/,S„_, \/~) 



soit effectué, il pourra être décomposé en qu;itre parties, comprenant res- 

 pectivement les termes où entreraient 4^', 4^' + '? 4*^' H- 2 et /\li + 3 fac- 

 teurs imaginaires. En désignant ces parties par 



P„, v^P,, -P. et -v'^P,, 

 on fera prendre à l'intégrale la forme 



I = V («^^ + p^^ ^— ) (p„-f. v:^p,_ p,_ v^P,). 



Cela posé, si l'on conçoit que, entre les deux équations dans lesquelles se 

 décomposera y=: o, les n relations introduites, que nous désignerons par 



on élimine a, [i>, a,, fi,,..., a.,,, |3„, on obtiendra successivement deux rela- 



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