( io8o ) 

 lions, l'une entre F, et x,, j,, z,,..., l'autre entre F', et a',, /,, i', ; de 

 sorte que l'on pourra concevoir les deux intégrales 



Ces intégrales auront pour expressions 



U = 2(«,, + |3„)(Po + P, + P. 4-P3), 

 U'=I(«„-/3„)(Po + P, +P.+ P3), 

 et l'on pourra donner à I la forme 



I - 22«„P„ + 22/3„P, - Hjt£' + (2 v^^^ [,^ ^ ^2/3„P, + ^^') v- 1; 



mais si l'on pose 



U, := lrx„\\, + 2/3„P3, U', = ia„P3 + l{l>n^,, 



on aura en définitive 



^ U+U' ,. , — /u — U' 



I — — h aU, + V — • h- aU, 



CliMCune des intégrales composant U, et U', pourrait s'exprimer par une 

 intégrale d'ordre n d'une fonction réelle de n variables réelles, définie par 

 une écpiation qu'on obtiendrait par des éliminations suffisamment indiquées 

 par ce qui précède. Mais on se débarrassera aisément de ces intégrales. 

 )) Si l'équationy^o a tous ses coefficients réels, elle admettra les solu- 

 tions X =■ a — ^i y — 1 , 7- — «, — [3, v' — I , F = of„ — /3„ y — I , conjuguées 

 des précédents, et l'on pourra considérer l'intégrale 1' correspondant à cet 

 ensemble de solutions. Cette nouvelle intégrale sera évidemment exprimée 

 par 



r = -£±^ + .u,-v/-.(îi^-,u'). 



» Quant aux limites de l'une ou de l'autre intégrale, en supposant que 

 oc, a,,..., «„_, soient les variables qu'on regarde comme indépendantes, on 

 les fixera en établissant entre ces variables ii — i relations nouvelles, qui 

 doivent être satisfaites aux limites seulement. 



» 1 liéorème de riiulépendance de l'intégrale d'ordre n et des Dateurs intermé- 

 diaires des variables, les limites restant les mêmes. — On démontrera exacte- 

 ment, comme dans les deux cas précédents, que si les n relations y = o, 



