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 ç, = o,..., ç)„_, = ose déforment insensiblement sans cesser d'admettre, pour 

 les n variables indépendantes, les mêmes systèmes de valeurs aux limites, 

 l'intégrale ne variera généralement pas. On obtiendra d'ailleurs de la même 

 manière les expressions des conditions dans lesquelles elle pourrait 

 changer. 



» Il suffira pour cela de remarquer que chaque élément de l'intégrale 

 l{«n ■+- ^nsf—ï){dix-h d^\/—i){du, -+- ^jS, \J—i) pourra être formé de la 

 somme de tous les éléments analogues que l'on obtiendrait en ne faisant 

 varier à la fois que l'une seulement des parties de chacune des variables 

 X, y, z,..., pourvu qu'on tînt compte de toutes les combinaisons possible.s, 

 effectuées d'ailleurs dans l'ordre que l'on voudrait. 



» Il résultera de là qu'on pourra faire varier à volonté les lois de pro- 

 gression de a:, /, z,..., pourvu toutefois qu'aucun système nouvellemeni 

 introduit de valeurs de a, /3, a, , ]3,,..., «„_,, |3„_| ne satisfasse à aucune des 



équations 



dF dF 



c'est-à-dire ne satisfasse ni à l'équation F =: co , ni à l'équation — := o. 



» On rendrait compte, comme dans les deux cas précédents, de l'annu- 

 lation de l'intégrale et de chacune de ses parties, dans tous les cas où les 

 variables indépendantes ne varieraient que dans des limites trop restreintes. 



» En effet les a/z + 2 variables 



^1 P» ^M Pi ■)• • • ' ^n— I j Pn-1 » ^nj Pm 



étant liées entre elles par « -1- 2 équations, chacune des quantités a„ el ]3„ 

 pourra être considérée comme une fonction de n de celles qu'on voudiait 

 des 2n premières et notamment des n dont les différentielles entreraient 

 dans la partie de l'intégrale lolale qu'on voudrait considérer, de sorte que 

 cette partie de l'intégrale totale ne serait en définitive que l'intégrale d'une 

 fonction réelle de n variables réelles. Or, si cette fonction ne pouvait pas 

 prendre de valeurs multiples, ses valeurs ne pourraient pas se permuter 

 entre elles, de sorte que le système de valeurs des variables et de la fonction 

 étant supposé fermé et la fonction repassant, au retour, par les mêmes 

 valeurs qu'elle avait prises dans l'aller, la somme des élénienls engendrés 

 serait identiquement nulle. » 



