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 nomes, munis de puissants instruments, de vouloir bien la suivre et de 

 nous communiquer leurs résultats. » 



ANALYSE. — Mémoire sur la lliéorie des équations à différences jjnrtielles 

 du second ordre à deux variables indépendantes ; par M. Maurice Lévy. 

 (Extrait par lauteur.) 



(Commissaires: MM. Bertrand, Serret, Bonnet.) 



I. 



« Le principal but de ce travail est de trouver d'une manière générale 

 toutes les intégrales des équations à différences partielles du second ordre 

 à deux variables indépendantes qu'il est possible d'obtenir moyennant 

 l'intégration d'équations, à différences ordinaires. Ce problème comprend 

 évidemment, comme cas particulier, celui qui aurait pour objet la décou- 

 verte des intégrales de la première classe d'Ampère, dont la théorie, bien 

 que très-incomplète encore, a fait, dans ces derniers temps, de remarquables 

 progrès, grâce aux belles recherches de MM. Moutard et Darboux. 



» I.a sohition du problème générai tel que je le pose se trouve dans 

 les propositions suivantes : 



» Théorème I. — Les intégrales les plus générales des équations à diffé- 

 rences partielles du second ordre^ qu'il soit possible d'obtenir moyennant l'inté- 

 gration de k systèmes successifs d' équations à différences ordinaires comprenant 

 chacun un nombre quelconque d'équations avec un pareil nombre de fonctions 

 inconnues, sont celles dont les arbitraires relatives à l'une des caractéristiques 

 de l'équation différentielle proposée [') n'entrent sous aucun signe d'intégration 

 partielle, celles relatives à l'autre caractéristique pouvant être enq âgées sous de 

 tels signes on généralement se présenter d'un façon quebonque. 



» La proposition subsiste dens le cas ou les deux caractéristiques sofit les 

 mêmes. Les deux fonctions arbitraires de l'intégrale, si elle est générale, 

 doivent, dans ce cas, apparaître distinctes^ l'une d'elles étant hors de tout signe 

 d'intégration partielle, l'autre pouvant être engagée sous de tels signes. 



(i ThéohèME II. — Inversement, toutes les fois qu'une écjuation à différences 

 partielles du second ordre admet une intégrale de la forme qui vient d'être défi- 

 nie, elle peut être intégrée, c'est-à-dire que son intégration peut effectivement 



(*) J';i|ipellerai toujours caracti'nsti(]ucs d'une équation diffoienticlle pailitlle les quan- 

 tités dont dépendent les fonctions arbitraires qui entrent dan^ son intéyiale. 



