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être ramenée à celte de A systèmes successifs d'équations à différences ordi- 

 naires. 



)) Théorème III. — Le nombre k des systèmes à intégrer est toujours et in- 

 variablement égal à trois; en sorte ijue la seule chose qui varie d'une intégrale 

 à l'autre, c'est le nombre des équations que comprend chacun des trois systèmes 



à intégrer. 



II. 



(c J'appellerai intégrale générale mixte toute intégrale générale dont les arbitraires rela- 

 tives à l'une des caractéristiques seulement sont dégagées de tout signe d'intégration par- 

 tielle, réservant, avec Ampère, la désignation d'intégrale de la première classe aux intégrales 

 générales ou particulières dont tontes les fonctions arbitraires sont en dehors de tels signes. 



« Soient X, X,, Xj trois fonctions de x, y, z, c'est-à-dire des variables indépendantes de 

 la fonction inconnue de l'équation à différences partielles proposée, de ses caractéristiques 

 a et p et des arbitraires relatives à chacune de ces caractéristiques. Les arbitraires qui entrent 

 dans X sont supposées dégagées de tout signe d'intégration partielle; dans X, et Xj, les 

 arbitraires relatives à p sont seules censées dégagées de tels signes, celles relatives à a étant 

 supposées de forme quelconque. Enfin, représentons par U une fonction de x, y, z de p et 

 lî arbitraires de p non engagées sous des signes d'intégration partielle, U ne contenant aucune 

 quantité relative à a. « 



1) Je démontre les propositions suivantes : 



» Théorème IV. — Une intégrale générale mixte d'une équation à diffé- 

 rences partielles du second ordre à deux variables indépendantes peut être repré- 

 sentée par trois équations 



X, = o, X2=o, 



c/X, ('/X2 d'K., rfX, 



m n^ AT "^ "■ ^' 



dont la dernière a pour premier nombre le déterminant fonctionnel des pre- 

 miers membres des deux autres relatif aux caraclêristi<pies a et ^ de l'équation 

 différentielle donnée, toutes les fois <jue les dérivées partielles du premier ordre 

 au moins de la fonction inconnue sont homogènes à l'intégrale relativement à 

 celle des deux caractéristiques dont les arbitraires n'entrent sous aucun signe 

 d'intégration partielle ( *). (Ici c'est p. ) 



)) En outre, les deux premières des équations intégrales représentent alors à 

 elles seules une intégrale de la proposée, si ion j regarde comme de simples 

 constantes toutes les quantités dépendant de cette même caractéristique jS. 



» Théorème V. — TJne intégrale générale de bi première classe d'une 

 équation à différences partielles du second ordre à deux variables indépendantes 



*) Le mot homogène est pris ici dans le sens que lui attribue Ampère. 



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