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peut se mettre sous la forme de trois équations 



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dont les deux dernières sont les dérivées partielles de la première relativement 

 aux caractéristiques a et /3 de la proposée, toutes les fois que les dérivées par- 

 tielles du premier ordre au moins de la fonction inconnue sont homogènes à 

 l'intégrale à la fois relativement à « et relativement à /3. 



» En outre, la première des équations intégrales représente à elle seule une 

 intégrale de la proposée si l'on regarde toutes les arbitraires qui y entrent comme 

 de simples constantes. 



» Les deux premières représentent à elles seules une intégrale de la proposée 

 si l'on y regarde ]3 et les arbitraires dépendant de cette quantité comme de 

 simples constantes. 



» Enfin, la première et la troisième représentent de même une intégrale si 

 Von y regarde a et les arbitraires qui en dépendent comme de simples constantes. 



M Théorème VI. — Une intégrale particulière de la première classe d'une 

 équation à différences partielles du second ordre à deux variables indépendantes 

 peut se mettre sous lajorme de deux équations 



U = o, - = o, 



toutes les fois que les dérivées partielles du premier ordre au moins de la Jonc- 

 tion inconnue soiit homogènes à l'intégrale relativement à la quantité /3 dont dé- 

 pendent les arbitraires qui entrent dans l'intégrale. 



» En outre, la première de ces équations représente à elle seule une intégrale 

 de In proposée, si l'on y rcganle toutes les arbitraires qui en dépendent comme 

 de simples constantes. 



« La première partie de celte dernière proposition a déjà été donnée par Ampère; mais 

 la démonstration de l'illustre géomètre repose sur une hypothèse qui ne se réalise pas tou- 

 jours, ni même en général. Elle suppose que U est de la forme 



(C) F('-,r,3,p,B,^/^,..., J^B./p,...), 



ov\ B est une fonction arbitraire et \ une fonction déterminée de p. Or cette forme est loin 

 d'être générale, et la première difficulté à résoudre, en abordant l'étude des intégrales sur 

 lesquelles portent les propositions précédentes, c^est de trouver les condition.': les plus géné- 

 rales moyennant lesquelles un nombre fini m de fonctions arbitraires de p, 



R, B,, B„ B3,..., B„_,, 

 découlant toutes de l'une d'elles B, de façon à être déterminées quand on donne à celle-ci 

 une forme déterminée et dont aucune n'entre sous un signe d'intégration partielle, peuvent 

 coe.rister dans une intégrale générale ou particulière d'une équation à différences partielles 



