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du second ordre, dans laquelle, d'ailleurs, les arbitraires relatives h la seconde caractéris- 

 tique a, si l'intégrale est générale, se présentent sous une forme quelconque. 



» Le cas le plus élémentaire, celui qui se présente dans les intégrales de 

 l'équation de Laplace, dans l'intégrale de l'équation de M. Liouville et 

 qui a été particulièrement étudié par M. Moutard pour les équations dont 

 les caractéristiques a et ^ sont des fonctions explicites de j:-, j-, z, est celui 



1 • • T^ T^ r. . • 1 . 1 J' ■ ' d^ '^'S d'B 



ou les arbitraires B,,^,, B3,... sont simplement des dérivées—, —, ^'•- • 



de B. Eh bien, je démontre que le cas le plus général possible consiste, 

 quelle que soit d'ailleurs l'expression des caractéristiques, en ceci : 



» // faut supposer dans tes équations intégrales, non pas une seule fonction 

 arbitraire B de j3, accompagnée d'un certain nombre d' autres fonctions qui en 

 soieiit issues « par voie de dérivatioii ou d'intégration », mais deux fondions 

 arbitraires B et C, accompagnées chacune d'un nombre fmi de ses dérivées, ces 

 deux fonctions étant liées entre elles par une équation de la forme 



, . ,,,/„„ rfB rf'B „ dC d'-C \ 



i') W(^/3,B-, -,..., C-,-,...)=o, 



de telle façon que, si l'on donne à l'une des deux fondions B ou C une forme 

 déterminée, l'autre se détermine par i intégration de l'équation à différences 

 ordinaires (e). C'est cette relation qui définit de la façon la plus précise à la 

 fois et la plus générale la manière dont m fonctions arbitraires, dégagées de tout 

 signe d'intégration partielle, peuvent coexister dans une intégrale générale ou 

 particulière d'une équation du second ordre. 



» C'est à cette définition qu'il faut revenir constamment quand on veut 

 étudier les intégrales dont il s'agit. 



» C'est bien ainsi (et c'est le seul exemple complet que je connaisse, tous les autres ren- 

 trant dans la définition particulière d'Ampère) que se présente l'intégrale de l'équation du 

 second ordre dont dépendent les surfaces de M. Weingarten, intégrale que, dans son beau 

 Mémoire sur la déformation des surfaces, M. Bonnet donne par des considérations géomé- 

 triques d'une suprême élégance et d'une extrême simplicité. 



III. 

 )) Non-seulement les solutions subsidiaires qui, en vertu des proposi- 

 tions IV, V et VI, accompagnent les intégrales mixtes ou de la première 

 classe appartiennent à l'équalion du second ordre proposée, mais je montre 

 qu'elles appartiennent aussi à toute équation à différences partielles, si élevé 

 qu'en soit l'ordre, avec laquelle celle-ci admet une intégrale commune avec 

 une fonction arbitraire, c'est-cà-dire à ces équations d'ordre supérieur si 

 heureusement introduites dans la théorie des équations du second ordre 

 par M. Darboux. 



