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 nière intégrale 



sera identiquement nulle, 



» De même I/B^Po désigne une somme d'intégrales de la forme 



jdarjd^r.--jf^ndpd^, 



et j3„, p et /3, étant proportionnels à i, p ^-t la dernière intégrale sera 

 identiquement nulle. 



» H ne restera donc, pour l'intégrale totale, dans l'hypothèse consi- 

 dérée, que 



r = (u - u') s/:r7, 



c'est-à-dire le produit de y^— i par l'intégrale correspondant au système 

 de valeurs réelles de (Z±:^„, considéré comme fonction de «dz^, «, ±:/3,,..., 

 ««-I ± /3„_|. 



» Cette intégrale, au facteur sj—i près, représentera, par rapport à l'en- 

 semble 



x = a±/3, 7 = a, ±^ , F = «„ ±: /3„, 



la même grandeur qu'on avait voulu exprimer par l'intégrale relative à 

 l'ensemble réel de valeurs de a?, ^, z,..., F. 



» On retrouve ainsi le théorème que j'avais donné en i858. 



:> Les périodes imaginaires d\ine intégrale l,^Fdx d/dz... sont les produits 



par \l — 1 des valeurs de cette intégrale^ relatives aux champs conjugués de 

 l équation qui définit la fonction F, et les valeurs de cette intégrale, relatives à 

 deux champs conjugués voisins, sont identiques. 



» Ce sera probablement la dernière extension que pourra recevoir le 

 théorème d'Apollonius 



na'b'sinS ■■= nab. 



» Supposons, en second lieu, que l'équation y(j::, /, z,..., F) = o ait 

 ses coefficients imaginaires. On reconnaîtra, comme dans les cas précé- 

 dents, que les périodes de l'intégrale lYdxdjdz... correspondront, soit 



aux ensembles fermés de solutions de l'équation /=o, pour lesquels —■> 



àv ci-e . , , . , , ,- ' j 1 .• 



-j-1 —f^"' seraient restes réels, soit aux ensembles fermes de solutions 



C. R., 1872, 2» Semestre. (T. LXXV, N" 21.) *"^ 



