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communes à / = o, et à des équations du premier degré en nombre n 



F = Cx + d, 

 F =C, j: + rf,, 



dans lesquelles C, C,, Ca,.-- resteraient constants, et où d, d,, rf,,... va- 

 rieraient entre les limites auxquelles correspondraient des valeurs doubles 

 de F. ). 



GÉOMÉTRIE. — Nouvelle méthode d'Analyse, fondée sur l'emploi des coordonnées 

 imaginaires. Mémoire de M. F. Lccas, présenté par M. Chasles. (Extrait 

 par l'auteur.) 



(Commissaires : MM. Chaslesj Bertrand, Serret.) 



« Le but principal de ce Mémoire est d'établir entre la Géométrie segmen- 

 taire et V Algèbre supérieure un lien très-intime, en vertu duquel ces deux 

 brancbes de la science peuvent se prêter un mutuel concours. 



» L'instrument dont nous faisons usage pour arriver à ce résultat est la 

 coordonnée imaginaire 

 (i) Z = X+J^-i, 



par laquelle on peut représenter le point du plan dont l'abscisse et l'or- 

 donnée, relativement à deux axes rectangulaires, sont respectivement 



X et jr. 



» Un polygone de p sommets ou, plus généralement, un groupe de p 

 points du plan, se trouve entièrement déterminé si l'on donne les coor- 

 données 



Z,, Zj,..., Z,„,..., Zp 



de chaque sommet ou de chaque point. On peut, avec ces coordonnées, 

 former l'équation du degré p : 



(2) {z- z,)[z-z^)...[z- z,„)...{z — Zp)= o. 



» Réciproquement, toute équation algébrique du degré/) détermine un 

 groupe de p points du plan. Cette simple observation montre comment 

 l'étude des polygones et celle des équations algébriques peuvent se ramener 

 l'une à l'autre. 



» Rapport antiarmoniquc. — Un premier point de départ, fondamental 

 dans la nouvelle méthode d'Analyse que nous décrivons, est la notion du 

 rapport antiarmuniquc de doux couples de points (M, N), (M', N'), étendue 



