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 au cas où ces points sont disposés, dans le plan, d'une manière quelconque. 

 » Soient (/j., v) et{[x\v') les coordonnées de ces deux couples; nous 

 appelons rapport anharmonique l'expression analytique : 



» Ce rapport est indépendant de la position de l'origine des coordon- 

 nées et de la direction des axes. Il ne change pas si l'on transforme la figure, 

 soit semblablement à elle-même, soit par rayons vecteurs réciproques. 



» Le rapport anharmonique est généralement imaginaire, de la forme 

 a ■+ b v/— 1 . Pour qu'il devienne réel, il faut et il suffit que les quatre points 

 donnés appartiennent à une même circonférence, laquelle peut d'ailleurs dégé- 

 nérer en ligne droite. Dans ce cas, le rapport anharmonique s'identifie avec 

 celui de quatre points d'un cercle ou de quatre points en ligne droite, défini 

 dans le traité de Géométrie supérieure, et dont l'auteur de ce traité a fait 

 connaître tant de belles applications. 



» Si le rapport anharmonique devient égal à — i, les deux cordes MN, 

 M'N' sont conjuguées relativement à la circonférence circonscrite. 



» Théorie des ombilics. — Nous trouvons un second point de départ, non 

 moins important que le précédent, dans une notion géométrique toute 

 nouvelle, que nous allons définir brièvement. 



» Soient deux systèmes de points, en même nombre p : 



M,, M,,..., Mp 

 et 



N,, N,„.., Np, 



ainsi qu'un point mobile V. Formons l'expression segmentaire 



VN,.VN,., .VJVp 



» Les positions du point V qui rendent cette expression maxima ou 

 minima constituent ce que nous appelons les ombilics des systèmes M et N. 



» La théorie de ces ombilics, inabordable au moyen des coordonnées 

 cartésiennes, s'établit très-aisément par les coordonnées imaginaires. 



» Désignons par 



(5) ç)(z) = o, et (];(z) = o, 



les équations des groupes M et N, dans lesquelles nous supposerons que les 

 termes en z^ aient l'unité pour coefficient. 



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