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 nairement dans l'analyse des solutions de ces sortes de problèmes 



(i) /X'XVlVl=o, 



parce qu'elle y exprime la nullité de l'intégrale, étendue à toute la masse M, 

 des produits de ses éléments ^M par deux valeurs différentes, X' et X", 

 de tes fonctions transcendantes X des coordonnées cpii affectent les divers 

 termes périodiques des séries trigonométriques fournissant les petites excur- 

 sions des points en fonction du temps et des coordonnées d'équilibre; rela- 

 tion à l'aide de laquelle, comme on sait, l'on élimine, par une simple inté- 

 gration, tous les termes de ces séries, hors un, quand il s'agit de déterminer 

 leurs coefficients de manière à satisfaire aux conditions initiales (*). 



» Mais une démonstration générale du théorème manquait. Celle de 

 M. Lucas, qui va être résumée, me paraît applicable à tout système animé 

 de petites vibrations sous l'empire de forces comme la nature habituelle- 

 ment en offre- 



» 3. Quant au second des deux théorèmes, celui de l'égalité du travail 

 produit par un mouvement composé, à la somme des travaux dus aux 

 ujouvements composants, il était connu sans doute, et il est même évident 

 lorsque les forces en jeu restent constantes de grandeur et de direction pen- 

 dant qu'elles opèrent les travaux; car l'espace parcouru, regardé comme 

 résultant de plusieurs autres, a pour projection, sur la direction de chaque 

 force, la somme algébrique des projections de ceux-ci. Mais il n'est ni 

 évident, ni même vrai en général, quand les forces varient d'un instant à 

 l'antre, comme font les forces intérieures ou s'exercant réciproquement 

 entre les points d'un système vibrant. Or M. Lucas a reconnu, ce qui est 



(*) La relation en question, dans les problèmes résolus par Poisson (t. II du Traité de 

 Mécanique, i833, et Mémoire de 183,8 au t. VIII de V Institut), et dans divers Mémoires de 

 MM. Liouville et Sturm (t. I et II du Journal de Mathém.), s'écrit plutôt f'K''iL"dx=^o, 

 parce qu'il n'y est question généralement que de tiges prismatiques vibrant isolément. Mais 

 j'ai reconnu (surtout au 4° complément cité, i5 janvier 1866) que les termes qu'il faut chan- 

 ger au j)remier membre de cette égalité ou ceux qu'il faut y ajouter, soit quand le corps n'est 

 pas prismati([ue, soit quand il y a des masses rigides qui y sont liées, etc., reviennent à ce 

 qu'on a en mettant, au lieu de l'élément de longueur dx de la tige seule, l'clément dM de 

 toute la masse du système, ce qui fait rentrer dons la règle, comme je disais alors, l'excep- 

 tion qui semble se présenter dans les cas de présence de ces masses regardées comme étran- 

 gères à la partie élastique du système. 



Dans les problèmes aux différences partielles où la masse n'est pas en jeu, c'est par Vêle- 

 ment de volume, soit i.Tvxdx si le système est cylindrique, ^t: x' dx s'il est sphérique, qu'il 

 faut multiplier X'X". 



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