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 à l'un d'enlre eux pris à volonté, il reste nne équation algébrique du degré 

 3« en s, dite cnractévistiqiie. Comme son premier membre (si l'on met zéro 

 au second) est un déterminant symétrique^ elle a toutes ses racines réelles; 

 elle doit même les avoir positives si la situation repère offre, comme on le 

 suppose, un équilibre stable. 



» A chaciuie des valeurs de ce paramètre principal s répond une des 

 intégrales particulières, en sorte que les intégrales complètes, sonmies de 

 toutes celles-ci, ou les valeurs des 3n petits déplacements projetés, donnent 

 pour chaque point un mouvement résultant de la superposition d'un nombre 

 fini, mais considérable, de mouvements pendulaires simples et isochrones 

 de diverses périodes, qui s'exécuteraient parallèlement à chacun des trois 

 axes coordonnés. 



M Les 6« constantes d'intégration, appelées X et s, se détermineraient 

 par la condition que, poiu" un temps quelconque pris pour initial, les ?>7i 

 petits déplacements, et les 3/i vitesses, aient des grandeurs données. 



» En sidîstituant ces intégrales complètes aux déplacements cpii entrent 

 dans l'expression de la quantité ci-dessus, appelée par M. Lucas travail 

 emnwgnsinc, qui doit rester indépendante du tetnps d'après son troisième 

 théorème, on aperçoit que les seuls termes de celte expression où le temps 

 se trouve engagé sont affectés de sommes 



Sm{h'h"-h k'k"+ l'I") 



de produits des masses m de tous les points par des trinômes composés 

 avec tous les produits deux à deux des paramètres /?, k, l de même nom 

 relatifs à un même point, mais à deux de ses mouvements simples compo- 

 sants. Toutes ces sommes S doivent être nulles sépaf-ément; car on peut 

 toujours, sans changer auciuiement les paramètres h, k, l, qui dépendent 

 luiitpiement de la constitution du système indépendamment de ses mouve- 

 ments, prendre les données initiales, qui sont au nombre de 6?i, de ma- 

 nière que les 3« constantes d'intégration appelées X soient nulles, hors 

 deux d'entre elles, ou de manière que les mouvements simples compo- 

 sants se réduisent à deux, et qu'une seule des sommes Sm (•••)) choisie à 

 volonté, subsiste dans l'expression en question. Cela entraîne la nullité 

 nécessaire de cette somme, et de même des autres. 



» M. Lucas, par une analyse sjîéciale, étend ce résidtat au cas où des 

 points du système, en nombre quelconque, sont fixes; ce qui pouvait être 

 conclu aussi en regardant ces points comme des centres d'action de forces 

 extérieures. 



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