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 mais nous ne connaissons cependant aucun travail d'ensemble sur ce 

 sujet (i). 



» Nous nous proposons, dans le présent essai, de montrer comment les 

 principales formules de la théorie de la droite et du plan doivent être 

 généralisées pour s'étendre aux fonctions linéaires d'un nombre quelconque 

 de variables. 



» Bien que ces recherches soient purement algébriques, nous avons cru 

 utile d'emprunter, comme nos devanciers, quelques expressions à la 

 Géométrie. Ainsi nous considérons un point comme défini, dans l'espace à 

 «dimensions, par les valeurs de « coordonnées jr,,. . ., x„. Une équation 

 linéaire entre ces coordonnées définira un plan ; k équations linéaires si- 

 multanées, un k — plan; n — i équations, une dioile; la distance de deux 



points sera \J{a:, — Jc' ,)- -+-..., etc. 



» Ces définitions posées, nous étudions, dans la section I de notre 

 Mémoire, les divers degrés de parallélisme qui peuvent exister entre deux 

 multiplans ; 



» Dans la deuxième, les conditions de perpendicularité ; 



» Dans la troisième, les formules de transformation des coordonnées. 



>■ Les sections suivantes renferment des résultats plus intéressants. 



» La section IV est consacrée à l'étude des relations indépendantes du 

 choix des axes (les coordonnées restant rectangulaires) qui peuvent exister 

 entre deux multiplans. Nos principaux résultats consistent dans les pro- 

 positions suivantes : 



M 1° Un système formé d'un k — plan P^ et d'un / — plan P, passant par 

 un même point de l'espace a p invariants distincts, p étant le plus petit des 

 nombres k, l, ?i — k, n — /. Ou peut considérer ces invariants comme 

 définissant les am/les des deux multiplans. Leur détermination revient au 

 problème connu: Faire disparaître les rectangles d'une forme quadratique 

 à p variables par une substitution orthogonale. 



» 2" Les divers plans perpendiculaires à P* formant par leur intersection 



un n — k plan P„_a, dont les angles avec P^ s'obtiendront en ajoutant - 



aux angles de V/, et de P/. 



» 3° Si Pa et Pp ne se coupaient pas, ou aurait un invariant de plus, à 

 savoir leur plus courte distance. 



(i) Un seul chapitre dé cette tiouvelle lllédriè rlôtis Jiaraît pouvoir être considéré comme à 

 peu près àt'hevé : c'est celui de la courbule des Surfaces, t'^oir la Thèse deM. Morin, 1867, 

 et les Mémoires de M. Soplius Lie [GôltingeiNaehrichten, 1871). 



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