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» Dans la section V, nous donnons le système des formules qui relient 

 entre eux les angles mutuels des divers multiplans formés avec 7i plans 

 donnés quelconques, concourant au même point. Ces formules se réduisent, 

 pour ]i = 3, a celles de la Trigonométrie sphérique. Nous les rattachons à la 

 considération du déterminant de la forme quadratique qui donne la dis- 

 tance de deux points (les ii plans donnés étant pris pour plans coor- 

 donnés). 



» Dans la section VT, nous montrons comment une substitution ortho- 

 gonale de déterminant i peut être ramenée, par un changement d'axes rec- 

 tangulaires, à une forme canonique simple, dépendant de - invariants si n 

 est pair, de '■^■^^— s'il est impair. Nous donnons les équations différentielles 



auxquelles satisfont ces invariants. De cette recherche nous déduisons, 

 entre autres résultats, la généralisation des théorèmes suivants : 



» Jout mouvement plan se réduit à une rotation autour d'un point. 



» Tout mouvement dans l'espace est hélicoïdal. 



M Nous en tirons encore la généralisation de la loi de réciprocité qui a été 

 signalée par M. Chasles, et qui a servi de fondement à ses belles recherches 

 sur le déplacement des solides. 



» Quelques-uns des résultats ci-dessus avaient été déjà signalés par 

 M. Schlàfli {Journal de M. Borchardt, t. LXV). 



» Nous terminons en donnant les lois de la composition des mouve- 

 ments infiniment petits, dans l'espace à' quatre dimensions. Notre résultat 

 se fornuile dans ce théorème : 



« Une rotation infmitésiniale , dans i espace à quatre dimensions, peut être 

 représentée dans l'espace à trois dimensions par deux droites A et B, de gran- 

 deur et de direction convenables. Deux rotations K,, Rj» respectivement repré- 

 sentées par les droites A, et B,, A, et B,, auront pour résultante une rotation 

 repiésentée par les droites A, résultante de k^ et Aj, et B, résultante de 

 B, et Bj [ces droites étant combinées suivant la règle du parallélogramme). » 



PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Sw la force vive d un système vibrant; 



Note de M. Quet. 



« Dans un Mémoire non encore imprimé, qui a été présenté à l'Aca- 

 démie en i865 et qui, conformément à la proposition de M. Fizeau, a reçu 

 en 186G une Mention honorable, j ai démontré la proposition suivante : 



