• ( '6ï7 ) 

 Les forces vives explicite, implicite el totale de tout système vibrant sont res- 

 pectivement égales à la somme des forces vives de même dénomination qui 

 correspondent aux divers mouvements simples, dans lescjuels le mouvement pro- 

 duit peut se décomposer. J'avais été conduit à ce théorème par la décou- 

 verte que M. de Saint- Venant avait fait connaître en i865. C'est de lui 

 qu'il est question dans une partie de la Communication et du Rapport pré- 

 sentés parce savant à la dernière séance de l'Académie. J'en ai trouvé une 

 nouvelle démonstration très-rapide, que je vais indiquer brièvement, en 

 adoptant les notations de Lagrange. L'équation des forces vives est 



T -+- y — H = 7. 



T, V — H et 7 sont les demi-forces vives explicite, implicite et totale, ou les 

 énergies actuelle, potentielle et totale. On trouve, dans l'ouvrage de La- 

 grange, 



^ ^d? "^ d? ' 



^ = S'-H S"+S"' + ..., ^[/=:/'S'+/"S"H-..., 9 = g'S' + g"S" + ...; 



g = u'+u"+u"'+..., g=/'U'+/"U"4-..., 5 = s'u' + g"u"+.... 



» J'ai posé 



S = Esin {t\/K -hc), U = E v'Kcos {t s/K + c) ; 



les accents se rapportent aux diverses racines d'une équation en R, dont le 

 degré est égal au nombre des variables S,, i]', 'fv? ^t q"^ l'on obtient par 

 l'élimination des qxiantitésy^ §■,•■•■> entre les n équations suivantes : 

 P^lip, Q=K<y, R=K/-.... 



» Pour démontrer le théorème sur les forces vives implicites, il n'y a 

 qu'à porter les valeurs précédentes de S,, (p, ^ dans l'expression de V — H, 

 en ayant égard à une remarque que je ferai bientôt. A cause de la symétrie 

 des formules, la même démonstration servira pour la force vive explicite. 

 On a 

 2(V- H) = S'^ j [i] + [2]/''^ + [3] ,.'-^ + 2 i [i, 2]/' +[r,3]g'+ [2, 3] §'+/'[} 



+ 2S'S"j[.]+[2]/'/"+[3]^-'g" 



+ [,, 2](/' +/") + [., ■)]{§' + g") + [2, 3] U'g" +/"g')...\, 



