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» 5° Les groupes de degré p"' et d'ordre — -■> dérivés de la combinaison 

 des précédents avec la substitution 



[}. étant un diviseur de v. Ces groupes sont de la même classe que les pré- 



nv 



cédents, si n > i ; si n = i, ils seront de la classe p'" — pT, e étant le plus 



petit diviseur de - (l'unité exceptée). 



« 6° Dans l'expression des substitutions des groupes précédents, effa- 

 çons les constantes S,..., c?„; supposons en outre que les indices x,,...,a;„ 

 ne soient pas tous nuls, et, au lieu des valeurs absolues de ces indices, ne 

 considérons que leurs rapports mutuels; nous obtiendrons une suite de 



nouveaux groupes, du degré ^ s et d'ordre — ^^ fois moindre que 



ceux dont ils dérivent, t étant le plus grand commun diviseur de ?i et de d. 



Enfin la classe de ces groupes sera donnée par le nombre p'''"-" — i, s'ils 



dérivent des groupes des formes 3 ou /Ji et par le plus petit des deux 



nombres «» 



„v,«-.,_, et ^!ll-L_-^l^, 

 ' p' — I " 



P^—i 



s'ils dérivent des groupes de la forme 5. 



» Les catégories qui précèdent contiennent, comme cas particuliers, 

 celles que M, Mathieu avait établies dans son beau Mémoire de i86i. La 

 principale différence consiste en ce que, au lieu d'employer comme lui des 

 substitutions linéaires fractionnaires à un seul indice, ce qui revient à des 

 substitutions à deux indices dont on ne considère que les rapports, nous 

 avons envisagé, dans notre analyse, des substitutions à un nombre quel- 

 conque d'indices, ce qui nous a permis d'embrasser un plus grand nombre 

 de groupes dans nos formules. 



)> Les sept groupes qui sortent de ces catégories sont les suivants : 

 )) 1° Celui de classe 8, de degré ti et d'ordre ii. lo. 3, 2 dérivé des 

 substitutions 



S = {ab)[cd){ej){gh), S. = [bx){cj)[eh){gd), 

 S,=: {jx){bc){ad){gh), S, = {zr){ef){cTi){gd). 



» C'est le groupe de l'équation du ii*^ degré, réduite de l'équation mo- 

 dulaire du 12'. 



