et 



on ait 



( 3o5 ) 



(a/3) H = a a2 /3 33 -+■ «33^00 — 2a 23 /3 23 , 



(a/3) 23 = «i2J3 13 +- « 13 Pi2 — «n^23 — UatPtti 



h=6 



Un 



Mo 



k = l{uh) rs u r h s . 



» Ces invariants et covariants sont connus, et on trouve leurs expres- 

 sions dans les Mémoires de MM. Cayley et Aronhold; mais je ne crois pas 

 qu'on ait encore considéré un troisième covariant qui semble devoir jouer 

 un grand rôle dans la théorie des formes cubiques ternaires. Ce covariant 



a des propriétés analogues aux propriétés du covariant du sixième ordre 

 des formes biquadratiques à deux indéterminées ; par exemple le carré de S 

 peut s'exprimer en fonction rationnelle, entière, des covariants u, h, k, 

 et des invariants s, t. 



» M. Aronhold, dans son Mémoire publié dans le volume LTV du Journal 

 de M. Borchardt (p. 176), a donné les expressions S a j, T ab des invariants 

 du quatrième et du sixième degré de la formule cubique ternaire 



au + bh ; 



en posant dans ces expressions a = h, b = — u, et en indiquant par S, T 

 les expressions résultantes, on a 



S —sh" — l^th 3 u + <os 2 h 1 u 2 - f 4 sthu 3 ■+■ (4* 2 — 3i 3 )«<, 



th* — 6 s' h" 



1 5 sth* u~ 



,5 1 



2ot 2 h 3 u 3 + i5s*th 2 u* 



— 6s (35 3 — it-) /tu* -+- t(gs 3 — 8t'-) u\ 

 au moyen desquelles la valeur de Q 2 peut se réduire à la forme 

 5l i S 2 = (6k - 2tu 2 ) 3 - 3S(6/fc — 2te 2 ).+- 2T. 



Soient «,, a 2 , u 3 trois quantités indéterminées; si l'on multiplie le déter- 



