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j'emploie pour désigner une ligne dans l'espace, et j'ai appelé cette ligne 

 quantité ultra-géométrique, par extension à la dénomination choisie par Cau- 

 chy pour exprimer une ligne dans un plan. 



» Sous forme monôme, une quantité ultra-géométrique s'écrit ainsi 



ai -+- Si 



pe 



et cet algorithme permet de la soumettre à tous les calculs algébriques; 

 mais sous forme trinôme 



x-hfi-h zj, 



les quantités ultra-géométriques ne suivent plus les règles ordinaires de la 

 multiplication, et il est nécessaire d'introduire un signe spécial ■£- indiquant 

 une opération que nous appellerons multiplication géométrique. 



» Il est toujours vrai de dire qu'on peut intervertir l'ordre des facteurs, 

 mais il serait inexact de dire que le produit d'un polynôme par un mo- 

 nôme est égal à la somme des produits partiels. Cela n'a lieu que dans cer- 

 tains cas. 



» L'analogie remarquable qui existe entre certaines propriétés des 

 « quantités idéales » et des « quantités ultra-géométriques » m'avait fait 

 penser que les quantités idéales pouvaient bien n'être que des quantités 

 ultra-géométriques, ou, si l'on veut, qu'on pouvait les exprimer par des 

 lignes dans l'espace, comme les quantités imaginaires ordinaires s'expriment 

 par des lignes dans le plan. 



» On sait que, pour multiplier ensemble deux quantités ultra-géomé- 

 triques écrites sous forme monôme, il suffit de multiplier algébriquement 

 les modules et d'additionner respectivement les longitudes et les latitudes. 

 Ainsi 



pe* 1 * 9 ' * p'e"' , + ' J '' = p x p'X e (w + w ' ); + (fi + 0/ . 



» Si les facteurs idéaux peuvent être représentés par des lignes dans l'es- 

 pace, plusieurs théorèmes relatifs à leurs propriétés deviennent presque 

 évidents, parce qu'ils tiennent à la nature même des lignes dans l'espace. 



» En admettant notre hypothèse, on sera frappé de l'analogie qui existe 

 entre certains théorèmes sur les propriétés des nombres idéaux et quel- 

 ques théorèmes élémentaires des nombres ultra-géométriques. [Foir la 

 page 443 et les suivantes du tome XVI du Journal de Mathématiques pures 

 et appliquées (Théorie des Nombres complexes, par Ruminer)]. Je cite le 

 texte : 



