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« Tous les nombres complexes idéaux qui donnent des produits existants, 

 » lorsqu'on les multiplie par un même nombre idéal, seront appelés nombres 

 » idéaux équivalents, et ils seront attribués à une même classe des nombres 

 » complexes idéaux. » 



» Si un nombre complexe idéal est une ligne dans l'espace, d'après la 

 classification adoptée par Rummer, tous les nombres idéaux équivalents 

 auront même latitude. Soit 6 cette latitude : en multipliant chacun d'eux 

 par y(a)e^ 9 ° " ; , on aura un nombre complexe existant, c'est-à-dire un 

 nombre complexe dans le plan. 



« Les classes des nombres équivalents sont toujours les mêmes pour 

 » tous les multiplicateurs qu'on pourra choisir. 



» Deux nombres idéaux équivalents à un troisième nombre idéal sont 

 » équivalents entre eux. 



» Des nombres équivalents multipliés par des nombres équivalents don- 

 » nent toujours des produits équivalents. 



» La classe du produit de deux nombres idéaux est complètement déter- 

 » minée par les classes des facteurs. 



» Il correspond à chaque classe une certaine classe, en sorte que ces 

 » deux classes composées produisent la classe principale, c'est-à-dire que 

 « le produit de deux nombres quelconques de ces deux classes est un 

 » nombre complexe existant. » 



» Tous ces théorèmes deviennent évidents si un nombre idéal peut être 

 représenté par une ligne dans l'espace, et, en effet, ils expriment des pro- 

 priétés générales des lignes dans l'espace. 



» Mais ce n'est pas seulement par les analogies dont je viens de donner 

 quelques exemples que j'ai été conduit à étudier les quantités ultra-géomé- 

 triques; j'y ai été poussé aussi par la pensée de généraliser, s'il était pos- 

 sible, Ja belle méthode de M. Liouville, relative aux fonctions doublement 

 périodiques, et de l'étendre, au moins dans certains cas, aux fonctions 

 triplement périodiques. 



» Je ne donnerai pas ici toutes les formes sous lesquelles se présentent 

 les nombres ultra-géométriques, ni les formules qui permettent de passer 

 d une forme à l'autre. Cependant il est une forme qui mérite une étude 

 spéciale, c'est celle où le nombre dans l'espace se présente sous forme 

 polygonale, c'est-à-dire où il est formé avec des coefficients entiers et les 

 racines solides de l'unité. Un pareil nombre sera dit un nombre complexe 

 dans l espace. 



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