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 » Si l'on appelle a. k une laeine de l'équation 



v m — i = o 

 et p A une racine de l'équation 



p — 1 = 0, 



a désignant les racines dans le plan des XY et |3 les racines dans le plan 

 des XZ; alors la ligne 



a + n l a k fi"+ rt 2 a 2 */3 2/l -+- a 3 u îk ^ 3h + . . . -+- a m ^ «<"»-•>*. f3<*"-'>A 

 sera dite un nombre complexe dans l'espace, et nous le désignerons par 



/•(**, fi"). 



a, a,, à 2 , ■ • ■ , oc m _, sont des nombres entiers qui sont les coefficients du 

 nombre complexe; donnons à k et à h toutes les valeurs entières de o à 

 m — 1 , nous aurons nr nombres de la forme 



en les multipliant ensemble, nous aurons un nombre qui sera dit la norme 

 de j\ct, /3), et que nous désignerons par 



où je démontre que cette expression, multipliée par une puissance de 1 

 convenablement choisie, est toujours un nombre entier. C'est là un résultat 

 fondamental, en ce qu'il montre comment un nombre entier peut se décom- 

 poser en facteurs complexes dans l'espace. 



•> Voici l'analyse dont je me suis servi : je commence par chercher le 

 produit géométrique de deux nombres complexes complémentaires 



et je trouve que ce produit multiplié par 4 » pour expression 



9 (a) x <p(cr') -+■ ^(a)x lO -1 ), 



<p et ty dépendant de h et k, et étant d'ailleurs faciles à déterminer. Si l'on 

 donne à h et à k toutes les valeurs dont ces nombres sont susceptibles, nous 

 aurons un produit que nous désignons par 



et qui, multiplié par •2 (m ~ ,) ", donne un nombre réel et même entier. 



