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 de ces courbes, ils mettent en évidence l'existence de plusieurs éléments 

 analytiques essentiels, sans lesquels on ne peut établir la théorie algébrique 

 des fonctions homogènes du quatrième degré. On ne peut mettre en doute 

 qu'on parvienne un jour à rapprocher ces deux points de vue d'une manière 

 plus intime qu'on ne l'a fait jusqu'à présent, en sorte que les notions algé- 

 briques si multipliées, qui se rapportent aux fonctions homogènes d'un 

 degré déterminé à trois variables, aient leur signification parfaitement 

 déterminée en géométrie. C'est dans cette intention que je n'ai pas cru 

 inutile de mettre à profit les moyens d'investigation qui nous ont été donnés 

 principalement par M. Cayley et M. Sylvester, pour compléter en quelque 

 point la revue des éléments algébriques qui doivent entrer nécessairement 

 dans la théorie des formes du quatrième degré. 



» Déjà M. Salmon, dans son excellent ouvrage (Lessons on higher Algebra . 

 en avait indiqué plusieurs: après les avoir retrouvés, nous nous sommes en 

 particulier préoccupé de rechercher si l'on pouvait être parfaitement certain 

 de l'existence de contrevariants et de covariants de degré impair, et surtout 

 du premier degré. Il ne peut être douteux que ces expressions aient une 

 signification géométrique importante dans la théorie des courbes du qua- 

 trième degré; mais sans nous arrêter à ce point de vue, le rôle qu'elles 

 jouent en algèbre justifiera, il nous semble, les longs calculs que nous 

 avons dû entreprendre pour établir en effet leur existence. En arithmé- 

 tique, la notion des covariants linéaires conduit à une solution immédiate 

 du problème de l'équivalence de deux formes : en algèbre, on en déduit 

 une transformée de toute forme donnée en une autre dont les coefficients 

 sont des invariants. On voit, sans que j'aie besoin de m'étendre davantage, 

 les motifs qui m'ont engagé dans la recherche dont je vais présenter dans 

 cette Note les principaux résultats. 



» On sait que x 3 -h y 3 -+- z 3 + Glxyz est la forme canonique pour le 

 troisième degeé : l'analogie nous a conduit à adopter provisoirement, 

 comme forme canonique, dans le cas actuel : 



F = x\-hy* + s 4 -f 6ay 2 z 2 -h 6pz 2 x- + Gy.r 2 jr 



-+- 12XX 2 yz -+- xiy.xy^z -+- iivxyz". 



» Nous avertissons, avant de commencer, que les variables seront repré- 

 sentées, conformément à l'usage, par x, y, z dans le cas d'un covariant, 

 et par |, vj, 'Ç dans le cas d'un contrevariant. De plus, nous désignons par 

 des numéros d'ordre les diverses fonctions dont nous avons à faire l'énu- 

 mération. la première est le Hessien, dont voici la valeur : 



