( i°9 x ) 



» Jusqu'ici les contrevenants ou covariants qui se sont offerts à nous 

 sont tous de degré pair, et on pourrait multiplier assez facilement le 

 nombre de ces expressions. Mais peut-on être sûr de l'existence de fonc- 

 tions de cette espèce, de degré impair par rapport aux variables? Pour 

 répondre à cette question, nous avons dû, ce qui suffit évidemment, nous 

 renfermer dans un cas particulier. Celui auquel nous nous sommes arrêté 

 nous était indiqué d'avance par les résultats énumérés dans les tableaux pré- 

 cédents. Un coup d'oeil jeté sur eux suffit effectivement pour voir que toutes 

 nos expressions deviennent très-simples, lorsqu'on suppose nuls les trois 

 coefficients a, [i, y. Nous nous bornerons donc, dans ce qui suit, aux fonc- 

 tions homogènes du quatrième degré à trois variables, pour lesquelles la 

 forme canonique devient 



x* 4- y* 4- z 4 4- 61x 2 jz 4- 6p.xy 2 z 4- ôvxyz*. 



» Avant d'entrer dans rénumération des contrevariants et covariants de 

 degré impair que nous avons rencontrés, nous donnons un covariant du 

 quatrième degré par rapport aux variables, et du septième par rapport aux 

 coefficients, dont nous aurons à faire usage un peu plus loin, obtenu en 

 faisant opérer IV sur leHessien. 



VIII. 



1 26 X' — 24 p' — 24 v 4 

 - 264 Xp -+- 600 X* p 2 V' - 



4.r 



144 > s p 



8 1 Xv' — 1 32 pi 3 v — 90 X 3 



+ 432). 2 p 3 + 72V 1 v î 



: X 2 pi — 1 32 Xv 3 — 90 p 3 v 2 



-432AVv + 7 2/W 



— 126 V* — 24).' — 24 fi' 



4- 264 Xpn 4 600 X 2 p 2 v 2 4- 1 44 Xp 



4x 3 / 



8 r p. 2 -j — 1 32 X 3 p — 90 A 2 v 3 

 4- 432 Xp 3 v 2 4- 72 X' p 2 v 



4- 3 ., 



i 1 x.p 2 — 1 32 p 3 — 90 x 3 -y- 



4-432 X 2 p 3 v + 72 Xp 2 v' 



4r 3 ^ 



X 2 v — 1 32 Xu. 3 — 90 p. 2 v 3 



•432). 3 pv 2 -f- 7 2À 2 p"v 



6 r 2 z 2 



• 17 X 2 — r32p 2 v 2 + goX 3 pv 

 -288 X 2 p. 4 4-288 X 2 v' + 72 Xu. 3 v 3 



■ 1 7 p. 2 — 1 32 X 2 v 2 4- 90 Xu. 3 v 



- 288 p 2 v" 4 288 X 4 y. 2 4- 72 X 3 p 3 



6x 2 ^ 2 



— 17V 2 — i32X 2 p 2 + goXpv 3 



4- 288 X 4 v 2 4- 288 p 4 v 2 4- 72 X 3 p. 3 •. 



12 aryz 



•2X4-18X 5 — ii2X 2 pv4-i8Xp'4-i8Xv 4 

 ■ 144 p 3 * 3 — 216 X 3 p. 2 v 2 



— 2p4-i8p s — ii2Xp 2 v4-i8p-/4-i8X 4 p 

 4-i44>-V — 216 X 2 p. 3 v 2 



1 2 xyz' 



— 2*4-i8v b — H2)p 2 + i8). 4 v +-i8p'v 

 4-i44X 3 p 3 — 2i6X 2 p. 2 v 3 



l42.. 



