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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe d 'équations modulaires . 



Note de M. Brioschi. 



« 1. Dans une Communication que j'ai présentée à l'Académie des 

 Sciences au mois de novembre de l'année 187^, j'ai démontré que la for- 

 mule de transformation d'ordre n, nombre premier, des fonctions ellip- 

 tiques 



, x dl dx , 



(1) = ,. = du, 



est la suivante 



1 = 35» 



en faisant 



J = a.' v + vfl.^- 1 -+- — — a.,a; v --^h. . .-+- tf v 

 ' 2 



et 



u = ç(a?) [J' 2 - JJ"j - i<p'(^)JJ'+ {nx ■+- 2va,) P, 



dans laquelle 



/ \ / 3 " "~ ' xi di ,„ d 2 } 



» Le polynôme J, comme l'a démontré Jacobi, doit satisfaire à une 

 équation différentielle du second ordre 



o(a.')J"— [2(2/1 — 3)ar 



— t(4« - 3)g, ] J'+ (n - 1) [/*# - 3a, | J = «D(J). 



en indiquant avec D le symbole d'opération 



.. d 2 , d 



pour laquelle 



D(g 2 ) = ,ig,, D(^,) = !éf5. D(S) = o, 

 étant 



— 02 -/or 



» De l'équation supérieure on déduit entre les coefficients a,, a.,, ... la 

 formule de récursion suivante 



( (// — 2$ — i)(24- + 3 )</„., — 3(« — ï)a,a s 



( ° ) ' 



' 4- i*(» + 6.s)# 2 a,_, — *(* - Og-3^-2 = «D(a f ), 



