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où A désigne une constante ('). Lorsque l'ordre n de l'équation est infé- 

 rieur à deux, ces fonctions <p(z) et ^(s) n'existent que si les coefficients 

 vérifient certaines relations qu'on peut former en se servant des inva- 

 riants de l'équation; lorsque n = 2, les fonctions o(z) et à(z) existent 

 toujours, comme l'ont montré Kummer et M. Brioschi ( 2 ). 



» 2. Les équations qui font l'objet de celte Note sont caractérisées par 

 les hypothèses suivantes sur la fonction o( z) et les coefficients P,-(z). La 

 fonction q(z) est uniforme dans une région du plan ; si l'on pose z, = <p(z), 

 z i+ , = ç(s,), les points z t , z 2 , . . ., z p sont tous dans celte région et con- 

 vergent régulièrement vers une limite x qui n'est pas un point essentiel de 

 <p(s); d'après M. Kœnigs ( 3 ), x est un zéro de la fonction z — >?(z) et le 

 module de <p'(x) est moindre que l'unité; nous supposons ce module diffé- 

 rent de zéro. Quant aux coefficients P,(s) de l'équation différentielle, ils 

 sont supposés holomorphes ou méromorphes au point limite .ce. 



» On peut alors intégrer l'équation à l'aide d'une fonction R(s)définie 

 par M. Kœnigs, fonction qui est holomorphe au point x, admet ce point 

 comme zéro simple et vérifie l'équation 



B[?(s)] = <p'O)B0). 



» On peut même, par une substitution dépendant de cette fonction 

 B(^), ramener l'équation à avoir ses coefficients constants : il suffit pour 

 cela de la mettre sous la forme canonique indiquée par Halphen dans son 

 Mémoire couronné. Ce fait s'explique si l'on remarque que les écpiations 

 considérées se transforment en elles-mêmes, non seulement par le chan- 

 gement de variable t = <p(.s), mais par une infinité de changements de va- 

 riable obtenus en substituant à o(z) une quelconque des fonctions con- 

 duisant à la même fonction B(s) ('). Nous nous bornerons, dans cette 

 Note, aux équations du second ordre. 



» 3. Soit une équation du second ordre 



,r-u .. . 



-^ — «/(*) = <>. 



(') Comptes rendus, séance du 7 novembre 1881. 



(*) Voir un résumé de ces recherches (Comptes rendus, t. XCIII, p. o,40- 



( 3 ) Recherches sur les intégrales de certaines équations fonctionnelles (Annales 

 de l'École Normale. 1 S84 et i885). 



( 4 ) Kœnigs, Nouvelles recherches sur les équations fonctionnelles (Annales de 

 l'École Normale, i885, p. 38;). 



