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 que l'on peut toujours supposer privée de second terme par un change- 

 ment de fonction. Si l'on fait 



«="[?Tor*. «=?(*). 



cette équation se transforme en une autre de même forme, à condition 

 que l'on ait 



où <p', o", ... désignent les dérivées de <p(s) par rapport à z. Lorsque la 

 fonction f(z) est donnée, la détermination d'une solution <p(s) de cette 

 équation est impossible dans la plupart des cas. Nous procéderons inver- 

 sement en supposant la fonction <p(s) donnée, et nous aurons une fonc- 

 tion particulière/, (z) holomorphe au point x et vérifiant la relation ci- 

 dessus, en prenant la série 



/.(O=2[?X*)?'(*0--v(**)]M**). 



v=o 



qui est convergente, puisque le module de <p'(a?) est moindre que l'unité. 

 D'après un théorème de M. Kœnigs, la fonction /(z) la plus générale, ho- 

 lomorphe ou méromorphe au point x et vérifiant la relation ci-dessus, est 



/•(*)=/< (*)+«[ïwT 



x désignant une constante arbitraire. La fonction f{z) étant ainsi déter- 

 minée, l'intégrale générale de l'équation du second ordre est, d'après les 

 théorèmes de M. Fuchs, régulière dans le domaine du point limite x. Les 

 racines de l'équation fondamentale déterminante étant r, et r 2 , on trouve 

 que l'équation admet les deux intégrales particulières 



B'.(s)[B'(*)B B'.(s)[B'(i)p, 



d'où l'on passe sans difficulté au cas où r, deviendrait égal à r. 2 . Ce résultat 

 montre que les coefficients de l'équation deviennent constants par la 



substitution 



_ i 



* = logB(z), u = i>[W(z)\~-. 



Si l'on substitue une des deux intégrales particulières dans l'équation diffé- 



