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 I est une fonction de ret de o, et on sait que, pourr< i, on a le dévelop- 

 pement 



1= ^ + r ( a > cos ? "+" *< sm <?) + ... + /''"(«„, cosmo + b m sinm<?) -+- 



» Supposons que la fonction f(<\>) soit continue, avec la période 2w, et 

 soit g le maximum de ses valeurs absolues. En raisonnant comme le fait 

 M. Schwarz dans son Mémoire sur l'intégrale de Poisson, on établit immé- 

 diatement que, étant donné à l'avance un nombre e fixe, mais aussi petit 

 qu'on veut, on peut trouver un angle suffisamment petit S, tel que 



|i-A ? )|<«+ f - r8 > 



et cela quel que soit r. On peut choisir r suffisamment voisin de un, pour 

 que 



-('-/- 2 ) 

 /'(i — cosô) 



Soitr,<i une valeur de r satisfaisant à cette inégalité; r, étant ainsi 

 choisi va rester fixe. Nous avons alors, en désignant par I, la valeur de I 

 pour t = r, 



|I, -/(?)(< 2S, 



quel que soit o. Or la série 



I i = -£ + r i(«. cos ? ■+- h sincp) + ... + r"'(« m cosm ? + &, n sinmo) +..., 



dont les termes sont des fonctions de o, est uniformément convergente. Ses 

 termes sont moindres, en effet, que ceux de la série 



« En prenant m assez grand pour que, dans cette dernière série, le reste 

 correspondant soit moindreque i, le reste de la série qui représente I, sera 

 moindre que e, en valeur absolue, quelque soit <p. Choisissons m de cette 

 sorte, on aura alors une suite finie de Fourier 



F(o) = A + A, C0S9 + B, sino -j- ... +A m cos/no -t- B m sin^9 



