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telle que 



|I|-F(?)|<« 

 et, par suite, 



|/(ç)-F( ? )|<3«. 



On peut donc trouver une suite finie de Fourier F (9), telle que /(<p) puisse 

 être représentée par Y (®) avec V approximation donnée à V avance 3e. 



» 2. Nous avons supposé, dans ce qui précède, que la fonction /(ç) 

 était continue de o à 2- avec la période 1%. Soit maintenant /"(<?) une 

 fonction déterminée et continue dans un intervalle («, |î) moindre que 2-, 

 on pourra, sur la portion de la circonférence de rayon «rc, 011/(9) n'est pas 

 déterminée, prendre une fonction continue quelconque se raccordant 

 avec la première en a. et (3. A la fonction ainsi déterminée sur toute la cir- 

 conférence, on peut appliquer les considérations précédentes, et notre 

 fonction/^) se trouve alors représentée par une suite finie de Fourier 

 F(cp), avec une approximation donnée à l'avance, pour toute valeur de <p 

 entre a. et ($. 



» De ce théorème nous pouvons conclure immédiatement un des théo- 

 rèmes de M. Weierstrass. La fonction F(ç) peut être développée en série 

 ordonnée suivant les puissances croissantes de <p, 



F(o) = « + ï,o + ... + y.„o" -+-..., 



» La série précédente est uniformément convergente dans l'intervalle 

 ( œ, p); on peut donc prendre n assez grand pour que, en posant 



P (9 ) = oc + a, 9 ■+- . . . + «,, <p B , 



on ait, quel que soit 9 en/re 7. et P, 



. |F(«p)-P( ? )|<e, 



et, par conséquent, d'après l'inégalité du paragraphe précédent, 



|/(l0— P(?)|<4«. 



» Ainsi, e étant donné à V avance, on peut représenter la fonction f '(9), co/i- 

 linue dans l'intervalle (oc, [3), au moyen d'un polynôme P(<p) avec une ap- 

 proximation au moins égale à t\i. 



» Je rappelle, sans insister, que M. Weierstrass déduit immédiatement 

 de la proposition précédente la possibilité de développer toute fonction 

 continue /(r) d'une variable réelle entre a et p en une série de la forme 



/oOO + f\ O) +•• •+/»(*) +• • • • 

 C. R., 1891, 1" Semestre. (T. CXII, N- 4.) 25 



