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positives ternaires on aurait tiré, en suivant une marche tout analogue, les 

 inégalités D> r3,5ou<— i3, 5. La limite que nous avons trouvée plus haut 

 n'est donc pas, il est vrai, une limite précise, mais malgré cela elle nous 

 fournit déjà des résultats que les formes quadratiques n'ont pas encore 

 donnés. » 



analyse mathématique. — démonstration purement algébrique du théorème 

 fondamental de la théorie des équations. Note de M. E. Amigues, présentée 

 par M. Henni te. 



« Théorème. — Toute équation algébrique entière à coefficients réels ou 

 imaginaires admet au moins une racine réelle ou imaginaire. 



» Soit f(z) un polynôme entier qui ne se réduit pas à une constante et 

 s une valeur de z telle que le module de J(z ) soit inférieur ou au plus 

 égal à tous les modules de /(s) quand z prend toutes les valeurs. 



» u étant une quantité imaginaire quelconque, on a 



A .-„ + m) = <t ■+■ b a i + I(a p -h b p i)uP. 



On n'a pas, pour toutes les valeurs de p, 



a p -\-b p i- - o, 



soit q la plus petite valeur de p pour laquelle on n'a pas cette égalité. On 

 a alors 



f(z -+- u = a a ■+■ V H- (<■'/ + M')"' + ••■•■ 



» Posons u = r -+- W et formons le carré M 2 du module de f( :■„ -+- u). 

 Pour cela, prenons cette quantité, savoir 



a + b n i -+- (a q H- b q i) {x + yi)' ! 4- . . . 



et la quantité conjuguée 



a,, — b i H- (a q — b q i) (x — ri Y' -+- . . . 



et formons leur produit. Ce produit sera, en posant 



( fl - - //„ i ){a q + bqi) = m -+■ ni 

 (i) M- = al + bl-h i[(m-hni)(oc +yi) q -h (m — ni)(x — v/'V] -r. . ., 



les divers termes de ce développement étant homogènes en (x + yt ) et 

 ( x — ) i) et de degrés croissants. 



