( ai3 ; 

 » Mais toute quantité imaginaire x 4- yi peut se mettre sous la forme 



i H- il 



p v 7 rT7 r 



en posant 



p = H- v ^--i-i- et t = Z, 



pourvu qu'on regarde le radical \J i -+- 1 1 comme susceptible d'un double 

 signe ; en sorte que l'on a toutes les quantités imaginaires en prenant pour 

 p toutes les valeurs positives, pour L toutes les valeurs réelles et pour 

 \J i 4- ('- le double signe. 



« La formule (i) devient, avec cette nouvelle notation, 



( 2 ) MP-aî + Wn - ' ''■"' '' "" -'"'H' -'O Z + ,.„ 



et la quantité M 2 se trouve ainsi ordonnée suivant les puissances crois- 

 santes de p. 



» Je dis maintenant que le coefficient de 2p ? ne peut être négatit pour 

 aucune valeur réelle de t. Car si, pour t t t , il avait pour valeur — A. 

 l'égalité (2) donnerait pour / /, 



M 2 à; . b\- ikf ■ Bp» '+-...., 



W=r-a\-r-b\- aAp'i i-^P-..)- 



» On sait trouver une quantité a. telle que, pour p<'*, la parenthèse 

 soit plus grande que £. Pour ces valeurs de p, l'égalité peut s'écrire 



W^a\ + h; t - aAp?(^ -: p), 



P étant une quantité positive. Il faudrait alors admettre que, pour l = t, et 

 ç <[ x, le carré du module de /(,'„ ! «) serait inférieur d'une quantité finie 

 au carré du module de f('i = a -- b i, ce qui est impossible. 



» J'ajoute que le coefficient de if ne peut être égal à une quantité posi- 

 iive A pour aucune valeur réelle de /. En effet, remontons à l'égalité (1) ; 

 ot, comme x +.yi représente une quantité arbitraire, remplaçons-y cette 

 quantité par Q(x + yi), en appelant une racine q' Kme de — t, racine dont 

 l'existence s'établit aisément par l'Algèbre pure. 



» L'égalité devient alors 



M 2 ^ a 2 + b; t — 2[(//j + ni) (se H y if ■'- (m — nijix —yi) 1 - ■■, 



