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GÉOMÉTRIE. — Sur une classe de surfaces harmoniques. Mole de M. L. Raffv, 



présentée par M. Darboux. 



« Je me propose d'établir ici une proposition qui joue un rôle important 

 dans la théorie des surfaces harmoniques. Elle consiste en ce que toute 

 surface harmonique dont tes lignes d'égale courbure sont parallèles est appli- 

 cable sur une surface de révolution . 



» Quand une surface est harmonique, on sait, en vertu d'un théorème 

 fondamental dû à M. Massieu, que l'équation de Jacobi pour les géodé- 

 siques de cette surface admet une intégrale quadratique et homogène. En 

 appliquant ce principe au cas où la surface est rapportée à une famille de 

 géodésiques et à leurs trajectoires orthogonales, on arrive à la règle sui- 

 vante qui m'a déjà permis de trouver (') toutes les surfaces harmoniques 

 résultant de la déformation des surfaces réglées : 



» Pour qu'un élément linéaire donné sous la forme 



( i) d-s 2 --- dir G dv 1 



soil réductible à la forme harmonique, il faut et il suffit qu on puisse ^en choi- 

 sissant convenablement les deux fonctions A et W de la seule variable v, satis- 

 faire aux deux équations 



/ \ d\>- r , tir , » • f "lé 



Or l'élément linéaire (i) conviendra à toutes les surfaces dont les lignes 

 d'égale courbure (u = const.) sont parallèles si l'on y fait 



( I ) G — - — j-p 



» Grâce à cette expression particulière de G, les relations (2) et (3) 

 permettent de calculer explicitement les deux dérivées premières de la 

 fonction auxiliaire [J.. Il n'y a plus qu'à écrire la condition d'iutégrabilité; 



(') Comptes rendus, t. GX, p, 223,, 



