( 4*5 ) 



on trouve ainsi l'équation fonctionnelle 



- /i r t \ i (u - v) 2 



j VI , :i\\ l ' 2 aU'O ,V'+W")](U - \ ) 



-; 4 A' C- : - (3 V W -r- V/ V" -;- A'") U' = o, 



où \ , est une fonction inconnue de v, introduite par l intégration. Si l'on 

 prend pour variable U, et qu'on mette U, à la place de l ', il vient, en dé- 

 signant par un accent la dérivée de U, par rapport à U, 





I VV( l 2 U', - aUU , ) - (a V W A : Ulf, H Vi V \\ ; A') U', 



( 2( VW ■+- 2A')U, + V, U- - 2 W, h- W')' U ■ p( e 



» Pour établir notre théorème, il faut montrer que, si l'on exclut l'hy- 

 pothèse \ const. qui donne les surfaces à courbure variable applicables 

 sur les surfaces de révolution, cette équation n'admet pas d'autres solu- 

 tions que celles qui correspondent aux surfaces à courbure totale constante. 

 Or on trouve que ces surfaces sont caractérisées par U'" = o, la fonction V 

 restant arbitraire. 



» Tout revient clone à prouver que l'équation (5) n'admet aucune so- 

 lution quand on suppose V ^ o et U'" o. A cet effet, je différence son 

 premier membre trois lois successivement par rapport à U, ce qui donne 



(6) 



i w ( [pu; auu, ) m . 2vw + a')(uu;)" 



I \ (VW -r- A il ; ; 2( VW +aA')l ; = 



et je montre que W doit être supposé différent de zéro. Je puis alors divi- 

 ser tous les termes de l'équation (6) par le produit WU* et je diflérentie 

 une fois encore par rapport à U et une fois par rapport à v. Dans l'équation 

 obtenue de la sorte, 



on ne peut supposer nulle, ainsi que je l'établis, ni la fonction de l qui 

 est au second membre, ni celle de v cpii figure au premier. Divisant alors 

 par leur produit, l'équation (7) se sépare en deux, dont l'intégration est 

 immédiate. On trouve, en désignant par n, a et b trois constantes, 



U? a A' V s — inV-r-b 



[)". 1 —n \> V— n 



