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GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE. — Transformation de démonstration. 

 Noie de M. A. Maxxheim. 



« Dans la première édition de son Traité de Géométrie supérieure, parue 

 en 1802, Chasles a dit (p. 436) à propos d'une propriété des coniques 

 obtenue par Ja méthode des figures corrélatives appliquée à un théorème 

 sur le cercle : « Assurément, le théorème sur le cercle et sa démonstration 

 » tout intuitive ne donnent aucune ouverture sur la manière dont cette 

 » propriété des coniques se pourra démontrer directement. » 



» Contrairement à cette idée, j'ai montré en 1837 (') qu'on pouvait 

 effectuer la transformation d'une démonstration géométrique ou analy- 

 tique d'un théorème pour obtenir la démonstration directe de ce théorème 

 transformé. 



» Chasles adopta complètement ma manière de voir et, dans la deuxième 

 édition de son Livre (p. 402), il modifia dans ce sens le passage précé- 

 demment cité. 



» Je viens de nouveau appeler l'attention sur la transformation de dé- 

 monstration à propos du mode de transformation en Géométrie cinématique 

 que j'ai fait connaître ( 2 ). 



» Démontrons d'abord un théorème que je prends comme exemple et 

 ensuite je transformerai cette démonstration. 



« On sait que : 



» Théorème I. - - Les plans normaux aux trajectoires des points d'une 

 droite se coupent suivant une même droite (Ch.vsles). 



» Ces plans normaux constituent un faisceau. Après un déplacement infiniment 

 petit de la droite mobile, on a un deuxième faisceau analogue à celui-ci et qui lui est 

 homogrophique. Après un nouveau déplacement infiniment petit, on a un troisième 

 faisceau homographique aux premiers. Les plans correspondants de ces trois faisceaux 

 se coupent en des points qui appartiennent à une cubique gauche. Ces points sont les 

 centres des sphères osculatrices des trajectoires des points de la droite mobile; donc : 



» Théorème 11. ■ - Les centres des sphères osculatrices des trajectoires des 

 points d'une droite mobile sont sur une cubique gauche (Haag). 



» Un plan arbitraire coupe cette courbe en trois points et, s'il la rencontre en plus 

 de trois points, il en contient une infinité. Cette circonstance se présente constamment 



(') Voir ma Brochure sur la Transformation des propriétés métriques des Jigures 

 à l'aide de la théorie des polaires réciproques. 



( 2 ) Voir Comptes rendus, séances des 3, 10 et il\ février 1890. 



