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lorsque quatre points d'une droite mobile restent sur quatre sphères fixes dont les 

 centres sont sur un même plan. Le centre de la sphère osculatrice de la trajectoire 

 d'un point quelconque de cette droite mobile doit être alors toujours sur ce plan, et 

 comme le lieu des centres des sphères osculatrices relatives aux points d'une courbe 

 ne peut être une courbe plane, nous devons conclure que ce centre est fixe, ou sur 

 une droite, pendant le déplacement; donc : 



» Théorème III. — Lorsque quatre points d'une droite mobile restent sur 

 des sphères fixes dont les centres sont dans un même plan, un point quelconque 

 de la droite décrit une ligne qui appartient à une sphère dont le centre est sur le 

 plan des centres des quatre sphères fixes ( ' ) . 



» Ce théorème nouveau comprend comme cas particulier ce théorème 

 qui a été très remarqué : Lorsque quatre points d'une droite mobile restent 

 sur quatre plans fixes, un point quelconque de la droite décrit une ligne 

 plane (-). 



» Faisant usage du mode de transformation qui consiste à remplacer 

 d'abord la droite mobile par une fde de sphères ( 3 ), je vais transformer la 

 démonstration que je viens de donner du théorème III. 



» En transformant le théorème I, on obtient le théorème suivant, dont 

 on connaît la démonstration directe : 



» Théorème I'. — Les plans normaux aux plans d'un faisceau mobile de 

 grandeur invariable menés, pour une position du faisceau, respectivement par- 

 les caractéristiques de ces plans se coupent suivant une même droite. 



» Ces plans normaux constituent un faisceau. Après un déplacement inliniment 

 petit de la figure mobile, on a un deuxième faisceau, analogue à celui-ci et qui lui 

 est homographique. Après un nouveau déplacement infiniment petit, on a un troi- 

 sième faisceau homographique au premier. 



» Les plans correspondants de ces trois faisceaux se coupent en des points qui ap- 

 partiennent à une cubique gauche. Ces points sont les centres des sphères osculatrices 

 des lignes de courbure des surfaces enveloppes des plans du faisceau mobile; donc : 



(') J'ai dit que le lieu des centres des sphères osculatrices d'une courbe ne peut 

 être plan. En effet, ce lieu est l'arête de rebroussement de la surface enveloppe des 

 plans normaux à cette courbe. Ces plans normaux sont les plans osculateurs de cette 

 arête de rebroussement et seraient alors réduits à un seul plan si cette arête était une 

 ligne plane. 



Faisons remarquer aussi que si ce lieu était une droite, tous les plans normaux pas- 

 sant par cette droite, la courbe serait une circonférence de cercle, c'est-à-dire aussi 

 une ligne sphérique. 



On peut ajouter à l'énoncé du théorème III que les centres des sphères qui con- 

 tiennent les lignes décrites appartiennent à une conique. 



( 2 ) J'ai fait connaître ce théorème dans la séance du 10 mars 1873. 



( 3 ) Voir Comptes rendus, séances des 3 et 10 février 1890. 



