(477 ) 

 » Théorème II'. — Les centres des sphères osculatrices des lignes de cour- 

 bure des surfaces enveloppes des plans d'un faisceau mobile, de grandeur inva- 

 riable, correspondant aux points où ces lignes rencontrent les caractéristiques 

 de ces de've/oppables, sont sur une cubique gauche. 



» Un plan arbitraire coupe cette courbe en trois points, et s'il la rencontre en plus 

 de trois points il en contient une infinité. Celte circonstance se présente constamment 

 lorsque quatre plans du faisceau mobile restent tangents à quatre sphères fixes dont 

 les centres sont sur un même plan. Le centre de la sphère osculatrice d'une quel- 

 conque des lignes de courbure de la surface enveloppe d'un plan quelconque du fai- 

 sceau mobile doit être alors toujours sur ce plan, et, comme le lieu des centres des 

 sphères osculatrices relatives aux points d'une courbe ne peut être une courbe plane, 

 nous devons conclure que ce centre est fixe, ou sur une droite, pendant le déplace- 

 ment; donc, par suite : 



» Théorème III'. — Lorsque quatre plans d' un faisceau mobile touchent 

 respectivement quatre sphères fixes dont les centres sont dans un même plan, 

 un plan quelconque du faisceau reste tangent à une sphère dont le centre est 

 un point du plan des centres des sphères fixes (' ). 



» On voit que les théorèmes I', II, III sont liés entre eux par des rai- 

 sonnements tout à fait analogues aux raisonnements qui lient les théorèmes 

 dont ils sont les transformés, et, comme, ainsi que je l'ai déjà dit, on con- 

 naît la transformation directe du théorème I', nous avons alors le théorème 

 nouveau HT et sa démonstration directe qui est la transformée de celle du 

 théorème III. 



» Faisons remarquer, en terminant, que la simplicité de cette démonstra- 

 tion est due à l'emploi des lignes de courbure des surfaces enveloppes des 

 plans du faisceau mobile. 



» Dans la recherche d'une démonstration directe du théorème III', on 

 n'aurait peut-être pas songé tout de suite à faire usage de ces lignes de 

 courbure que la transformation de la démonstration du théorème III a in- 

 troduites si naturellement. 



« L'emploi systématique de la transformation de démonstration pourra 

 conduire ainsi, dans bien des cas, à des démonstrations simples, mais en 

 quelque sorte cachées. » 



(') On peut encore ajouter ici que les sphères auxquelles les plans des faisceaux 

 mobiles sont tangents ont leurs centres sur une conique. 



Je ne développe pas aujourd'hui les cas particuliers des théorèmes III et III' ni les 

 cas particuliers des théorèmes relatifs aux files de sphères; j'y reviendrai en donnant 

 de nouvelles démonstrations des théorèmes III et III'. 



C. R., 1S91, 1" Semestre. (T. CXII, N° 9.) <>?/ 



