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GÉOMÉTRIE. — Sur les surfaces minima limitées par quatre arêtes d'un 

 quadrilatère gauche. Note de M. Schœnflies, présentée par M. Dar- 

 boux. 



a Dans une Note insérée dans ces Comptes rendus, M. H. -A. Schwarz a 

 énoncé le théorème (' ) que, parmi les surfaces minima limitées par quatre 

 arêtes d'un tétraèdre ( 2 ), il y en a cinq qui sont périodiques ; cela veutdire 

 que, dans une portion limitée de l'espace, il ne passe qu'un nombre fini de 

 répétitions symétriques de la portion primitive de la surface. Toutes ces 

 surfaces possèdent la symétrie de l'octaèdre; mais il paraît que ce résultat 

 n'est pas complet : en effet, je ferai voir que le nombre de ces surfaces 

 minima périodiques est de six. 



» La méthode dont je ferai usage est bien simple; elle s'appuie sur 

 V application des groupes de transformations de l 'espace aux surfaces minima. 

 Dans ce dernier temps, je me suis occupé plus profondément des problèmes 

 de cette espèce ; pour ce moment, je demande la permission de communi- 

 quer préalablement la Note suivante. 



» Il est évident qu'une surface minima limitée par les arêtes d'un poly- 

 gone gauche est périodique , si toutes les arêtes appartiennent aux axes de 

 symétrie d'un groupe de mouvements, ou plutôt aux axes binaires, quater- 

 naires, ou senaires d'un tel groupe. Cette condition est nécessaire et suffi- 

 sante. Imaginons maintenant un cube quelconque : il y a un groupe de 

 mouvements, tel que toutes les arêtes du cube et les diagonales de ses faces 

 appartiennent aux axes de symétrie du groupe; et il en est de même pour 

 toute subdivision de l'espace dont le cube' forme le polyèdre générateur. 

 Voilà le simple et seul fait dont nous avons besoin. En effet, il s'ensuit 

 immédiatement que tout quadrilatère gauche formé par des arêtes ou des 

 diagonales des cubes nommés nous fournit une surface minima périodique. 



» J'ajoute que le groupe cité s'obtient comme produit du groupe ordi- 

 naire de l'octaèdre et d'une translation parallèle à un axe principal de l'oc- 

 taèdre ( 3 ). 



(') Voir t. XCXVI, p. ion. 



( 2 ) Il va sans dire que les surfaces dont il est ici question suffisent, à la condition 

 de ne présenter aucun point singulier dans l'intérieur, etc. 



( 3 ) C'est le groupe que j'ai désigné par 0*jVoir Veber Gruppen von Bewegungen 

 {Math. Annal., t. XXIX, p. 77). 



