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 » Pour obtenir tous les quadrilatères de l'espèce considérée, on peut 

 procéder comme il suit. Concevons un système d'axes de coordonnées pa- 

 rallèles aux arêtes du cube. La longueur d'un côté du quadrilatère s'exprime 

 géométriquement par une des neuf expressions suivantes 



xx, $y, ys, 



*i(y + *)» p,(*-r-a?), it(as+y), 



y., (y — s), p 2 (-s — «0, Y2O — y ). 



où les coefficients x,-, (î,-, 7, sont des nombres entiers. 



» Maintenant, comme la somme géométrique des quatre droites du qua- 

 drilatère est zéro, la somme arithmétique correspondante s'évanouit identi- 

 quement. Tout revient donc à chercher des sommes formées par quatre de 

 ces expressions qui s'évanouissent identiquement. 



» Cela se fait facilement. D'abord il est évident que tout au plus deux 

 des nombres x, (3, y sont différents de zéro. Supposons que ce soient x et p. 

 En considérant que : doit être contenu dans les deux autres expressions, 

 on prouve aisément que tous les quatre coefficients, abstraction faite du 

 signe, sont égaux. 



» Il y a trois quadrilatères correspondants. Voilà les expressions géomé- 

 triques de leurs côtés, où l'ordre de ces expressions suit l'ordre des arêtes 

 du quadrilatère 



(0 



(2) 



(3) 



» Dans les deux premiers quadrilatères les arêtes x et y sont des arêtes 

 contiguës, tandis que, pour le troisième, elles sont opposées. 



» Si un seul des nombres x, |3, y est différent de zéro, fixons que ce 

 soit oc. Maintenant, pour les quadrilatères correspondants, il y a une ou 

 deux autres expressions qui contiennent a\ Dans le premier cas nous avons 

 deux quadrilatères, dont les côtés ont les valeurs suivantes 



(4) ix, z—x, — i(x-\-z), J-+-". 



(5) 2X, y + z, z-y, _2<> + s). 



De même, il y a deux quadrilatères appartenant au second cas ; les côtés 



