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 nima réelles possédant la symétrie de l'octaèdre, dont l'équation soit du 

 premier ordre en "X, a, v; donc les équations en question fournissent les 

 mêmes surfaces ou des surfaces imaginaires. 

 » Enfin, j'ajoute qu'en posant 



l(u)= s-V-T' k=-, const. = — -r' 



l'équation (6) donne deux surfaces comme la première, situées symétri- 

 quement par rapport aux plans des cubes. Cette valeur de 1 correspond à 

 la forme spéciale de la différentielle elliptique donnée par M. Cayley (' ). » 



GÉOMÉTRIE. — Sur les spirales harmoniques. Note de M. L. Raffy, 

 présentée par M. Darboux. 



« 



« Nous nous proposons de déterminer tous les éléments linéaires qui 

 conviennent à la fois à des surfaces spirales et à des surfaces harmoniques. 

 Tel est, par exemple, celui-ci 



( i ) ds- = (au'" - bv m ) ( du' -+- do 2 ) . 



» En effet, M. Maurice Levy a établi (Comptes rendus, t. LXXXVII, 

 p. 788) cette proposition importante : Tout élément linéaire homogène, de 

 de o-ré autre que — 2, appartient à une infinité de spirales. Du précédent on 

 déduit, en faisant croître ou décroître m indéfiniment, ces deux autres élé- 

 ments linéaires 



(II) ds- = (e" u - e 6 ' 1 ) (du 2 -t- do 3 ), 



(III) ds 2 = (\ogau — logbv) (du? ■+■ dv 2 ), 



qui conviennent aussi à des spirales harmoniques. Mais on ne peut affir- 

 mer d'avance qu'il n'y en ait pas d'autres. J'ai recherché ces éléments 

 linéaires par une méthode propre à les donner tous, et à distinguer ceux 

 qui sont doublement harmoniques de ceux qui ne le sont pas. 



» À cet effet, je résous complètement, pour le cas des spirales, l'équa- 

 tion différentielle indéterminée qui exprime que l'élément linéaire ë*dxdy 

 acquiert la forme harmonique par le changement de variables 



, , dx , , dy 



dx =w y = w 



(') Voir Quarterly Journ. 0/ Math., t. XIV. p. 190. 



