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 » Cette équation, qui a été donnée par M. Darboux {Théorie des sur- 

 faces, t. II, p. 209), peut s'écrire ainsi 



(1) FsE2X(V l ,+ c J ; 2 )-2Y(co; ! +(o; i ) + 3X'u>;-3Y'(o;+x"- y*= 0. 



» Nous lui adjoignons l'équation dérivée 



( 2 M + x'(4<4«v+ 5 *Cy) - Y'(4u>^+ 5 «.>;,,) = 0, 



qui ne se réduit à une identité que quand u^= o (surfaces développables). 

 Cette équation ne se confond avec la première que quand les surfaces con- 

 sidérées ont leur courbure totale constante. Ces cas particuliers exclus, 

 on peut éliminer X"— Y" entre les équations (i) et (2); d'où une équa- 

 tion 



(3) AX - BY + CX'- DY'= o, 



qu'on différenlie par rapport à x et à y. Entre les deux relations ainsi ob- 

 tenues et l'équation ( i), éliminons X" et Y"; nous trouvons un résultat de 

 la forme 



(4) A^-BiY-l-C.X'— D,Y'=o. 



» Le système (3) et (4) fait connaître X' et Y', quand son déterminant 

 n'est pas nul. La condition CD, — DC, = o exprime que les surfaces d'élé- 

 ment linéaire e w dxdy ont leurs lignes d'égale courbure parallèles; or j'ai 

 établi, dans une Note récente (p. 4^4 de ce Volume), que toute surface har- 

 monique, dont les lignes d'égale courbure sont parallèles, est applicable sur une 

 surface de révolution. 



» L'analyse que je viens de résumer est générale et convient à tout élé- 

 ment linéaire é*dxdy. 



» Donnons maintenant à co la forme propre aux spirales 



<x> = — i(x— y) -hfT(t)dt, t = x-hy. 



» La courbure totale ne pourra être constante sans être nulle. Laissant 

 donc les développables de côté, nous pouvons former les équations (3) 

 et (4); elles seront résolubles si les spirales ne sont pas applicables sui- 

 des surfaces de révolution. Or l'élément linéaire des spirales jouissant de 

 cette propriété a été déterminé par M. S. Lie {Malhetn. Annakn, t. XX) ; 

 il rentre dans le type (I) pour b = o, m -+■ 2 - o, et n'est doublement har- 

 monique que quand m = 1 . 



