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» Remarquons que, en raison de la forme de u>, tons les coefficients de 

 l'équation (i) et des suivantes dépendent seulement de t; du système (3) 

 et (4) nous tirerons 



(5) X'=T ( X4-T,Y, Y'=T 3 X4-T 4 Y, 



les quatre fonctions T, ne dépendant que de /. Ces deux équations indéter- 

 minées admettent deux systèmes de solutions communes et deux seule- 

 ment, savoir : 



(6) \ T,-c T, T 3 T 4 +c i 



(7) 



AB A.-e cl We- Ct AB AB*4-Ap4-Ba' 



X = le- rx 4- A e- hr , Y = mr !rj -t- B e~- h \ 



AT, = Blre""^ - kmhe-W, AT :! = - Bm(r - h)e- (r+h] \ 

 AT 2 = - A/(r - h) ê'^ c , AT, =— tolhé r - h)C 4- kmrê- r - h \ 



A = B/t"- / ') f — Ame-f-*'', 



où toutes les lettres désignent des constantes arbitraires (/ — /«f=o). Il 

 reste à substituer ces expressions de X et de Y dans l'équation (i), qui, 

 pour les spirales, s'écrit 



2(X — Y)T' 4- aX(T - if - 2Y(T 4- if 

 4- 3X'(T - ï) - 3Y'(T 4- i) 4- X" — Y"= o. 



On reconnaît ainsi que les solutions (6) ne conviennent que dans deux 

 cas: i° quand X el Y sont constants, ce qui conduit à l'élément linéaire (II); 

 2° quand X = e-'" x , Y = e~ 2 "' y , d'où l'équation de Riccati 



T'4-T 2 4-(3n - 2)Tcotnt — (n - i)(îb- i)= o, 



qui admet la solution T = (i — /«)cot — Elle donne, quand n — i est 



différent de zéro, l'élément linéaire (I); quand n est égal à i, l'élément 

 linéaire (III). 



» Quant aux solutions (7), j'ai pu démontrer qu'elles ne conviennent 

 que quand on prend X = e 3 ' x 4- A, Y = 9A, ce qui donne l'élément linéaire 



ds i = e~'^ x ~ y) e * * 3 cos , - dx dy, 



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qui rentre dans le type (II). Étant le seul qui acquière la forme harmo- 



