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 Mémoire couronné de 1888 (Chap. III), m'a permis de résoudre le pro- 

 blème des intégrantes sur une surface quelconque /du faisceau I\ définie 

 par l'équation 



H = P R-R„P = o, P„ et R„=const. 



» Désignons, en effet, par Q la valeur commune sur/des deux expres- 

 sions P : P et R: R„; x,y,z étant liées par la relation H = o, les deux 

 expressions 



^ R z («fo — ydx-hxdy) — R„rfQ /„ dK v _ dH \ 



2(^)11- \ z dz oz J 



, _ P.(dz — y rf.r + ^rfr)- Pq dQ 

 ~ V ' ~~ ~ 2QH C 



sont des différentielles totales; les coordonnées d'un point sur/sont fonc- 

 tions des deux variations 1 et (/., et les intégrantes sont données par l'équa- 

 tion 



_ . „ fdz — y dx -h x dy , . 



P n A -f- n a = / — -r ~ = const. arbilr. 



La quantité sous le signe/ est évidemment une différentielle totale, etQ -1 

 joue le rôle d'un véritable facteur d'intégrabilité. 



» On est ainsi ramené à des intégrales des différentielles totales sur une 

 surface; si P et R sont rationnelles en x, y et s, les intégrales \ et f/. peu- 

 vent être traitées par des méthodes générales dues à M. Ém. Picard. C'est 

 ce que je me propose de faire dans une Communication ultérieure. 



» Il y a enfin un cas où l'on est dispensé de toute quadrature. Si H est 

 en z de degré zéro ou un, et fonction entière en z, les intégrantes sont dé- 

 coupées sur y* par le faisceau de surfaces 



G-= const. arbitr., 



G = o étant une surface quelconque du faisceau T. 



» Les résultats précédents sont à rapprocher d'un théorème bien connu 

 dû à M. Lie : 



» Si l'on a une équation différentielle du premier ordre résolue par rapport 

 à la dérivée 



\ ( Ê, 7) ) de, — Y ( ; , y] ) dl = o 

 et une transformation infinitésimale (ponctuelle ou de contact) qui transforme 



