» Alors je ri is que, pour tous les individus do cette famille, on aura les 

 équations 



(3) 



i i ~ -\- cd ^ = ':. 



0<7 0/' 



7 </C , / S 7 



V<7 ,-'- -)- r i7^4 = <-/•/-, 



r/E, r/r M rf'C étant des différentielles exactes. 



» En effet, donnons à de, la forme ;, ^ -+- E 2 r/17, on trouve, en faisant 

 usage des équations (1), 



dl di. Oc 



<)■ 



d 1 ® . <r--, 



-~ -t-(? + p ) 'r- H- ; 



Oij dp O'i L'7'" op dq <)'/- 



= o, 



à cause de l'équation ( 2), supposée remplie. 



» Le carré de l'élément linéaire des surfaces dont les points Q sont 

 déterminés par les coordonnées ;, -r\, Z correspondantes aux individus tic 

 l'ensemble des surfaces définies par l'équation (2) sera donné par la 

 formule 



17, , ., ,y,, ( , <?<o\ 2 7 ()'J 7 da ( 1 dl>\° 



dt- -+- drr -H dC- = 2(7 \d-~) H- L'/)rf -— r/ ■- - -+- rf-^ , 

 '\ dq) ' dq dp \ dq) 



qui démontre que toutes ces surfaces sont applicables les unes sur les 

 autres, au moins dans celles de leurs parties qui correspondent au même 

 domaine des variables p. q. 



» Déterminons la fonction <p par l'équation 



(4) 



?=--P9-P*ï -y- 



» Le carré de l'élément linéaire des surfaces (3) correspondantes de- 

 viendra 



de 2 + drr 4- r/'C" = 27 dp- 4- 2/J r//; c/( q — p/i — />= ) 4- [d(q — fi/j - p 1 ) | 2 



(iq-p"-)dp- 



7 - P/> - Ç 



» La substitution 



= .'/ 



P/» H" Ç 



lui donne la forme 



r/r 2 + ^/r. 5 + f/i: 2 = r/// 2 4- a («-H Vp)dp*, 



