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sentation conforme. Soit S une aire fermée du plan des (oc, y) de contours, 

 et '( = c, ■+- it) une fonction analytique de z = x -h iy, qui représente l'aire 

 S sur le cercle T de rayon i, dont le centre u (origine des axes '(, •/)) cor- 

 respond au point O, origine des axes x, y. Si l'on pose '( = ze k{z) = ze s+,,! , 

 la fonction g(x, y) est la fonction de Green relative à l'aire S et au point O. 

 Cette condition remplie, la fonction '( = ze s+,/ ' est telle qu'à tout point z 

 de S correspond un point £ de T et un seul, et réciproquement. Quand z 

 tend vers un point z de s, 'Ç, tend vers la circonférence y de r, mais il 

 n'est pas certain (et c'est là l'objection de Harnack dans son livre sur le 

 potentiel logarithmique) que '( tende vers un point déterminé de y. Nous 

 allons montrer qu'il en est toujours ainsi, pourvu seulement que la tangente 

 le long de s varie avec l'arc d'une manière continue, sauf en un nombre fini de 

 points anguleux. 



» Supposons d'abord que s soit une courbe convexe le long de laquelle 

 la tangente varie avec l'arc d'une manière continue. Posons 



l = zes +ih =ze'^~\ 



g(x,y) désignant la fonction de Green relative à l'aire S et au point O. 

 Appelons r et 6 les coordonnées polaires d'un point s, p et 9 celles d'un 

 point '(. Aux courbes p = p (o < p <[ 1) du plan des (£, yi), correspondent 

 les courbes C ou g-f-Lr = Lp du plan des (x, y), qui tendent vers s 

 quand p tend vers 1 . Soit M un point de S, et w l'angle que fait avec OM la 

 tangente MT à la courbe G qui passe par M (menée dans le sens des an- 

 gles 9 croissants). En chaque point (x, ,y)'de S, w a pour valeur 



£l(x, y) = arc tang 



dg dg 



dx • <) y 



àg dg 



Y -r- — x 1- 



Q. est une fonction de x, y harmonique et régulière dans S, car c'est la 

 partie réelle de la fonction iLii -- -+- t j. Le long de s, l'angle a> prend des 



valeurs 0/(5) qui varient avec l'arc s d'une manière continue et restent 

 comprises entre des limites essentiellement positives a et p; mais la fonc- 

 tion £i(x, y) tend-elle vers la valeur w'(a; , y ) quand (x, y) tend vers le 

 point (x , y ) de st Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que la fonc- 

 tion V(r, y), harmonique et régulière dans S, qui prend sur s les valeurs 

 u\s), coïncide avec (2 (x,y) : c'est ce que nous allons établir. 



» A cet effet, considérons un polygone convexe p n de n côtés inscrit 

 dans s, et la fonction K„(z) = ze s » +ih « — ze k " {z) , où g n désigne la fonction 



