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de Green relative à l'aire P„ (qu'enferme P„) et au point : Ç(s) repré- 

 sente P„ sur le cercler. Soit l n la longueur du plus grand côté de/v Quand 

 on fait croître n indéfiniment (^tendant vers zéro), g n {x,y~) tend vers 



g (x,y); la fonction Sl n (x, y) = arc tang - -p — ^- - tend donc vers 



* dx dy 



£l(x,y) pour tout point (x,y) de l'aire S. Il nous suffit de prouver que 

 Y(x,y) est également la limite de Çl n (x,y). 



» Étudions les valeurs de £i n le long de p a . Soit M un des points de 

 l'arc de s sous-tendu par le côté A,A f+ , de p n , M T la tangente a s, <5 le 

 plus petit angle (en valeur absolue) de M T et de A, A ;+l . Quand M décrit 

 la courbe s, (5 varie avec M et est discontinu à chaque sommet A,-. On peut 

 trouver une longueur / assez petite pour que, l n étant inférieur à /, | S | soit 

 inférieur à e, quel que soit M (s est un nombre positif aussi petit qu'on 

 veut). Ceci posé, le long de chaque côté A,-A, +1J la fonction £„+Q est 

 régulière et constante [égale à l'angle <p,- de A,A (+I avecO*]; mais elle 

 admet les points A,- comme points critiques. Si de A, comme centre on dé- 

 crit, entre les deux côtés adjacents, un arc de cercle c de rayon très petit, 

 Ï2 rt + varie le long de c de 9, à <p,- H , en prenant une seule fois les valeurs 

 intermédiaires. Désignons par p' n le contour de l'aire P' fl intérieure au 

 polygone et extérieure aux cerclesc : dans P^ et sur p' n , la fonction Q u (x,y) 

 est régulière, et si M et M' sont deux points de s et de p' n qui corres- 

 pondent à la même valeur de 0, on a, quel que soit 9, 



| Q a (oc',y) - co'(.r , r ) | < e 



(pourvu (pie l n soit inférieur à /). 



» D'autre part, on peut tracer une courbe s' intérieure à s, sans point 

 commun avec s, et telle qu'on ait pour tout point (x',y r ), intérieure à s et 



extérieure à s', 



\y(x',y) - u>'(x t ,y a ) | < s, 



M et M' étant sur le même rayon vecteur. Si donc on a choisi /assez petit 

 pour c[ue p n soit compris entre s et s', on aura 



\V(x'.,y) ■ - il, x',y ij \o.i 

 pour tout point (x',y' ) Je p' n , par suite, pour tout point (x,y) de P),, c'est- 

 à-dire que Q n (x,y) tend vers Y(x, y) quand 1„ tend vers o. Les fonc- 

 tions V et Q, coïncident. 



» Q(x, y) prend donc sur le contour* les valeurs 0/(5), et varie, par 

 suite, dans S, entre les -limites positives a. et (3. Faisons tendre le point M 



