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de S vers le point M de s sur le rayon vecteur OM , et considérons la 

 courbe A ou m = f(o) que décrit le point X, correspondant. Tout d'abord, 

 M ne rencontre qu'une fois chaque courbe C (ou g--f-Lr = Lp ); cm-, si 

 les points M' et M" de OM„ appartenaient à la même courbe C, 9. s'annule- 

 rait entre M' et M", ce qui est impossible. Quand M tend vers M„ , p croit 

 donc constnmmenf et tend vers i; à chaque valeur de p correspond un 

 point M bien déterminé de OM , par suite, une valeur déterminée de i2. 

 Si l'on pose cot& = <Kp)< ' a col ""he A, qui coupe chaque cercle p = p sous 



l'angle Q., satisfait à l'équation différentielle (h = ï-L-, <J,(p) restant fini, 



continu et tendant vers cotw' quand p tend vers i . De là résulte immédia 

 tement(') : i° que (p tend vers une limite <p quand M tend vers M sur 05 „, 

 et tend uniformément vers cette limite quand M (ou z ) parcourts; 2° que 

 le point C = cos<p -+- isin<p varie avec r- d'une manière continue et par- 

 court une fois la circonférence quand z parcourt s; 3° que '( tend vers '( 

 quand z tend vers z sur un chemin quelconque et réciproquement. De plus, 

 les angles sous lesquels les chemins décrits par z et par 'C coupent respec- 

 tivement s et y sont égaux. La correspondance entre z et C est donc encore 

 biuniforme et conforme sur la périphérie des aires S et T. 



» Il est facile, dès lors, de démontrer la proposition suivante, qui com- 

 prend le théorème énoncé plus haut sur la représentation conforme : 

 Soient AB un arc de courbe le long duquel la tangente varie d'une manière con- 

 tinu* (sauf en un nombre fini de points anguleux), 2 une aire que AB limite 

 partiellement, Z(s) = X -+- i Y une fonction holomorphe dans 1. Si X(x,y) 

 prend sur AB une valeur constante, Y prend une suite continue de valeurs le 

 long de tout fragment A'B' de AB. De plus, l'angle a de deux courbes z qui se 

 coupent au point z de A'B' est égal à l'angle A des deux courbes Z correspon- 

 dantes. Si, toutefois, s est un point anguleux de A'B', a. désignant l'angle 



des deux tangentes en ce point, on a A = a — • 



» Ce théorème admis, une méthode que j'ai indiquée dans le Mémoire 

 déjà cité (p. 96-101) permet de démontrer cette proposition plus générale : 

 Soient AB un arc de courbe tel qw les fondions x(s), )'(s) admettent une dé- 

 rivée continue d'ordre (p ■+- 2), et Z(s) = X -+- /Y une fonction de z holo- 

 morphe dans l'aire 2 attenante à AB. Si X(x, y) prend sur AB des valeurs 



X, (s), qui admettent une dérivée d'ordre (q -+- 1) intégrable -.^i, ' ; Z(c ) et 



(') Voir, à ce sujet, mon Mémoire : Sur les lignes singulières des fonctions in If- 

 tiques, p. 19-25. 



