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ment {Journal de V École Polytechnique, 1890). une proposition relative aux 

 équations linéaires 



, d' 2 u ., (V 11 „ d- u ~ du „ du „ 



A ^— ; + 2 B -r 5- +C-T-; ; + D -^ + E ^- + F« = O, 



dx* ox oy dy ox ôy 



011 les coefficients sont supposés des fonctions analytiques des deux va- 

 riables réelles ce ety. Dans la région du plan où 



B 2 - AC < o, 



toute intégrale de cette équation, continue ainsi que ses dérivées partielles 

 des deux premiers ordres, est une fonction analytique des variables. Ce 

 théorème fondamental permet d'espérer cpie, dans des cas étendus, les 

 équations aux dérivées partielles pourront servir à l'étude des classes par- 

 faitement définies de fonctions. La nature analytique des solutions étant 

 ainsi précisée, on a pour cette étude une base que ne donnait pas l'idée 

 vague de solution de l'équation aux dérivées partielles. Je voudrais simple- 

 ment indiquer aujourd'hui un système particulier où ces vues générales 

 trouveront leur application. 



» 1. Prenons les deux équations en u et v 



dv du , du 



Ox 0-r oy 



<)r du -.du 



dy ox dy 



où a, b, c, d sont des fonctions analytiques de oc et y. Si l'on considère une 

 région du plan où ces coefficients sont continus et où 



(a — d) 2 -h [\bc <[ o, 



»(ouc) sera déterminée par les valeurs qu'elle prend sur un contour 

 fermé, en supposant, bien entendu, qu'elle reste continue à l'intérieur. 

 Nous pouvons donc dire que, pour ces équations, qui comprennent visible- 

 ment les équations classiques dans la théorie des fonctions d'une variable 

 complexe, le principe de Dirichlet subsiste. Il en est de même du théorème 

 de Cauchy relatif au nombre des racines contenues dans un contour : je 

 veux dire qu'on peut exprimer par une intégrale définie le nombre des 

 racines communes aux deux équations 



u(cc, y) = m„. 

 v(x,y) = v„ 



