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contenues dans un contour fermé. La raison en est que le déterminant fonc- 

 tionnel 



du Ou 



dx dy 



eh> dv 



dx dy 



garde un signe invariable, ce qui est la véritable origine du théorème de 

 Cauchy. 



2. Nous considérons toujours l'ensemble des deux fonctions u et v, que 

 nous pouvons appeler la fonction (u, c). De même que, dans la théorie 

 des fonctions uniformes d'une variable complexe, on a étudié comme pre- 

 mière singularité les pôles, il importe de définir les points singuliers 

 (x , y ) qui doivent jouer un rôle analogue au pôle dans l'élude d'une 

 fonction uniforme («, c). Bornons-nous au pôle simple : dans le voisi- 

 nage d'un tel point que j'appellerai encore un pôle, u et v seront de la 

 forme 



K(-r,j) 



Q(x, y)logR(.r, i y); 



P, Q, R sont trois fonctions analytiques de x et y dans le voisinage de 

 (x a ,y ^. Écrivant les termes de moindre degré dans le développement 

 de P et de R, on a 



P(x,y) = x(x - x ) -+- (3(j - y ) 4- . . ., 

 B.(x, j) = A.(x — x ') 2 -+- 2.B(x — x )(y — y ) 



(B 2 — AC<<.). 



CCr-Jo) 2 



L'ensemble (x, (ï) joue un rôle analogue au résidu dans la théorie des 

 fonctions d'une variable complexe. 



3. Si l'on veut étudier les fonctions à l'infini, il faut évidemment consi- 

 dérer des systèmes jouissant de quelques propriétés spéciales quand x et y 

 augmentent indéfiniment. Nous supposerons que a, b, c, cl restent finies 

 quels que soient x et y, et tendent vers des valeurs déterminées quand le 

 point (x, y) s'éloigne indéfiniment; de plus, l'inégalité 



(a- J) 2 +46c<o 



est vérifiée pour toute valeur de x et y. 



