( 7°9 ; 



Quant à l'élément linéaire (3), il s'écrit, en posant 



r , ( 2 a — i ) , 



9 = Vp + -7— V-î-". 



r/.r = cfrr +- [2H + 2 (a— i)/r + 2[ï/>] r//r 



ou, après la substitution 



c 



P = l= ' 



V a 



(f,) r/i 2 - t/u 2 -+- (11 . /h : A>) dv\ k- —^, lr =-^F 



1 



» Laissons de côté le cas où a 1, qui a été traité par M. Weingarlen; 

 on peut, sans diminuer la généralité, supposer fi = o, car cela revient à 

 remplacer les surfaces S par des surfaces parallèles. La détermination des 

 surfaces qui admettent l'élément linéaire donné par la formule (6) se ra- 

 mène donc à l'intégration de l'équation aux dérivées partielles 



p -I- p'= 2 a/), 



c'est-à-dire à la recherche des surfaces pour lesquelles la somme des 

 rayons de courbure principaux est proportionnelle à la distance d'un point 

 fixe au plan tangent. Or, dans un Mémoire inséré au Tome X de Y Ameri- 

 can Journal 0/ Mathematics, j'ai montré que la recherche de ces surfaces se 

 ramène à l'intégration d'une équation de la forme E(jî, [3) [voir Darboux, 

 Leçons sur la théorie des surfaces, t. II, p. 54], dont l'intégrale générale 

 peut être obtenue sous forme finie pour une infinité de valeurs de la con- 

 stante «. En rapprochant ce résultat de ce qui précède, on voit donc qu'il 

 existe une infinité de valeurs de la constante k pour lesquelles on peut détermi- 

 ner, par des quadratures, toutes les surfaces qui admettent i élément linéaire 

 donné par la formule 



ds- ■. du* -\- {u + kv 2 -\-U')dv a \ 



si le est quelconque, la détermination de ces surfaces se ramène à r intégration 

 d'une équation E(P, (3). 



» Les lignes géodésiques sont représentées, si /• n'est pas nul, par le 

 système des deux équations 



„2 



ikv -h / = (p'(«), « = , zr t i + -çr ' 



C. K., 1891, 1" Semestre. (T. CXII, N° 14.) fP 



